Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71783 / 95577
↖ ↑ ↗
← S 63.343505°
E 17.157898°		 ← 137.03 m → S 63.343505°
E 17.160645°		 →
↑
137.04 m
↓
↑
137.04 m
↓
S 63.344737°
E 17.157898°		 ← 137.02 m →
18 778 m²		 S 63.344737°
E 17.160645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547664642333984 y=0.729198455810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547664642333984 × 217)
    floor (0.547664642333984 × 131072)
    floor (71783.5)     		tx = 71783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729198455810547 × 217)
    floor (0.729198455810547 × 131072)
    floor (95577.5)     		ty = 95577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71783 / 95577 ti = "17/71783/95577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71783/95577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71783 ÷ 217
    71783 ÷ 131072     		x = 0.547660827636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95577 ÷ 217
    95577 ÷ 131072     		y = 0.729194641113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547660827636719 × 2 - 1) × π
    0.0953216552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29946181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729194641113281 × 2 - 1) × π
    -0.458389282226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.44007240148611
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29946181} λ = 0.29946181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44007240148611))-π/2
    2×atan(0.236910605381263)-π/2
    2×0.232621802559604-π/2
    0.465243605119208-1.57079632675     		φ = -1.10555272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29946181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.157898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10555272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.343505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71783 KachelY 95577 0.29946181 -1.10555272 17.157898 -63.343505
    Oben rechts KachelX + 1 71784 KachelY 95577 0.29950975 -1.10555272 17.160645 -63.343505
    Unten links KachelX 71783 KachelY + 1 95578 0.29946181 -1.10557423 17.157898 -63.344737
    Unten rechts KachelX + 1 71784 KachelY + 1 95578 0.29950975 -1.10557423 17.160645 -63.344737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10555272--1.10557423) × R
    2.15100000000579e-05 × 6371000     		dl = 137.040210000369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10555272--1.10557423) × R
    2.15100000000579e-05 × 6371000     		dr = 137.040210000369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29946181-0.29950975) × cos(-1.10555272) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.448640529144626 × 6371000     		do = 137.026365608058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29946181-0.29950975) × cos(-1.10557423) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.44862130528926 × 6371000     		du = 137.020494147807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10555272)-sin(-1.10557423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448640529144626-0.44862130528926)×R²
    abs(0.29950975-0.29946181)×1.92238553654023e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92238553654023e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92238553654023e-05×40589641000000     		ar = 18777.7196063315m²