Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71781 / 95607
↖ ↑ ↗
← S 63.380448°
E 17.152405°		 ← 136.85 m → S 63.380448°
E 17.155152°		 →
↑
136.85 m
↓
↑
136.85 m
↓
S 63.381679°
E 17.152405°		 ← 136.84 m →
18 727 m²		 S 63.381679°
E 17.155152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547649383544922 y=0.729427337646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547649383544922 × 217)
    floor (0.547649383544922 × 131072)
    floor (71781.5)     		tx = 71781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729427337646484 × 217)
    floor (0.729427337646484 × 131072)
    floor (95607.5)     		ty = 95607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71781 / 95607 ti = "17/71781/95607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71781/95607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71781 ÷ 217
    71781 ÷ 131072     		x = 0.547645568847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95607 ÷ 217
    95607 ÷ 131072     		y = 0.729423522949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547645568847656 × 2 - 1) × π
    0.0952911376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29936594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729423522949219 × 2 - 1) × π
    -0.458847045898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.44151050847471
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29936594} λ = 0.29936594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44151050847471))-π/2
    2×atan(0.236570147450132)-π/2
    2×0.232299413263304-π/2
    0.464598826526608-1.57079632675     		φ = -1.10619750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29936594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.152405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10619750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.380448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71781 KachelY 95607 0.29936594 -1.10619750 17.152405 -63.380448
    Oben rechts KachelX + 1 71782 KachelY 95607 0.29941388 -1.10619750 17.155152 -63.380448
    Unten links KachelX 71781 KachelY + 1 95608 0.29936594 -1.10621898 17.152405 -63.381679
    Unten rechts KachelX + 1 71782 KachelY + 1 95608 0.29941388 -1.10621898 17.155152 -63.381679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10619750--1.10621898) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dl = 136.849080000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10619750--1.10621898) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dr = 136.849080000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29936594-0.29941388) × cos(-1.10619750) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.448064188108419 × 6371000     		do = 136.850336220582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29936594-0.29941388) × cos(-1.10621898) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.448044984855221 × 6371000     		du = 136.844471052763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10619750)-sin(-1.10621898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448064188108419-0.448044984855221)×R²
    abs(0.29941388-0.29936594)×1.92032531981523e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92032531981523e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92032531981523e-05×40589641000000     		ar = 18727.441288875m²