Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7178 / 3722
↖ ↑ ↗
← N 69.580564°
W 22.280273°		 ← 852.44 m → N 69.580564°
W 22.258301°		 →
↑
852.57 m
↓
↑
852.57 m
↓
N 69.572896°
W 22.280273°		 ← 852.74 m →
726 889 m²		 N 69.572896°
W 22.258301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438140869140625 y=0.227203369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438140869140625 × 214)
    floor (0.438140869140625 × 16384)
    floor (7178.5)     		tx = 7178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227203369140625 × 214)
    floor (0.227203369140625 × 16384)
    floor (3722.5)     		ty = 3722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7178 / 3722 ti = "14/7178/3722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7178/3722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7178 ÷ 214
    7178 ÷ 16384     		x = 0.4381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3722 ÷ 214
    3722 ÷ 16384     		y = 0.2271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.123779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38886413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2271728515625 × 2 - 1) × π
    0.545654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71422353041321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38886413} λ = -0.38886413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71422353041321))-π/2
    2×atan(5.55236259746271)-π/2
    2×1.39260312755526-π/2
    2.78520625511051-1.57079632675     		φ = 1.21440993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38886413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.280273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21440993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.580564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7178 KachelY 3722 -0.38886413 1.21440993 -22.280273 69.580564
    Oben rechts KachelX + 1 7179 KachelY 3722 -0.38848063 1.21440993 -22.258301 69.580564
    Unten links KachelX 7178 KachelY + 1 3723 -0.38886413 1.21427611 -22.280273 69.572896
    Unten rechts KachelX + 1 7179 KachelY + 1 3723 -0.38848063 1.21427611 -22.258301 69.572896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21440993-1.21427611) × R
    0.000133820000000062 × 6371000     		dl = 852.567220000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21440993-1.21427611) × R
    0.000133820000000062 × 6371000     		dr = 852.567220000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38886413--0.38848063) × cos(1.21440993) × R
    0.000383499999999981 × 0.348889980855207 × 6371000     		do = 852.435389088897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38886413--0.38848063) × cos(1.21427611) × R
    0.000383499999999981 × 0.349015388975861 × 6371000     		du = 852.741796053817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21440993)-sin(1.21427611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348889980855207-0.349015388975861)×R²
    abs(-0.38848063--0.38886413)×0.000125408120654369×R²
    0.000383499999999981×0.000125408120654369×6371000²
    0.000383499999999981×0.000125408120654369×40589641000000     		ar = 726889.08725576m²