Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7178 / 10874
↖ ↑ ↗
← S 50.652944°
W 22.280273°		 ← 1 549.08 m → S 50.652944°
W 22.258301°		 →
↑
1 548.79 m
↓
↑
1 548.79 m
↓
S 50.666872°
W 22.280273°		 ← 1 548.62 m →
2 398 841 m²		 S 50.666872°
W 22.258301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438140869140625 y=0.663726806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438140869140625 × 214)
    floor (0.438140869140625 × 16384)
    floor (7178.5)     		tx = 7178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663726806640625 × 214)
    floor (0.663726806640625 × 16384)
    floor (10874.5)     		ty = 10874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7178 / 10874 ti = "14/7178/10874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7178/10874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7178 ÷ 214
    7178 ÷ 16384     		x = 0.4381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10874 ÷ 214
    10874 ÷ 16384     		y = 0.6636962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.123779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38886413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.327392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02853411824792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38886413} λ = -0.38886413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02853411824792))-π/2
    2×atan(0.357530674315441)-π/2
    2×0.343367844614338-π/2
    0.686735689228676-1.57079632675     		φ = -0.88406064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38886413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.280273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88406064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.652944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7178 KachelY 10874 -0.38886413 -0.88406064 -22.280273 -50.652944
    Oben rechts KachelX + 1 7179 KachelY 10874 -0.38848063 -0.88406064 -22.258301 -50.652944
    Unten links KachelX 7178 KachelY + 1 10875 -0.38886413 -0.88430374 -22.280273 -50.666872
    Unten rechts KachelX + 1 7179 KachelY + 1 10875 -0.38848063 -0.88430374 -22.258301 -50.666872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88406064--0.88430374) × R
    0.000243100000000052 × 6371000     		dl = 1548.79010000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88406064--0.88430374) × R
    0.000243100000000052 × 6371000     		dr = 1548.79010000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38886413--0.38848063) × cos(-0.88406064) × R
    0.000383499999999981 × 0.634016206757387 × 6371000     		do = 1549.0781666218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38886413--0.38848063) × cos(-0.88430374) × R
    0.000383499999999981 × 0.633828193991419 × 6371000     		du = 1548.61879907299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88406064)-sin(-0.88430374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634016206757387-0.633828193991419)×R²
    abs(-0.38848063--0.38886413)×0.000188012765968248×R²
    0.000383499999999981×0.000188012765968248×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188012765968248×40589641000000     		ar = 2398841.20844853m²