Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71778 / 95609
↖ ↑ ↗
← S 63.382909°
E 17.144165°		 ← 136.81 m → S 63.382909°
E 17.146911°		 →
↑
136.79 m
↓
↑
136.79 m
↓
S 63.384140°
E 17.144165°		 ← 136.80 m →
18 713 m²		 S 63.384140°
E 17.146911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547626495361328 y=0.729442596435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547626495361328 × 217)
    floor (0.547626495361328 × 131072)
    floor (71778.5)     		tx = 71778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729442596435547 × 217)
    floor (0.729442596435547 × 131072)
    floor (95609.5)     		ty = 95609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71778 / 95609 ti = "17/71778/95609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71778/95609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71778 ÷ 217
    71778 ÷ 131072     		x = 0.547622680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95609 ÷ 217
    95609 ÷ 131072     		y = 0.729438781738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547622680664062 × 2 - 1) × π
    0.095245361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29922213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729438781738281 × 2 - 1) × π
    -0.458877563476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.44160638227395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29922213} λ = 0.29922213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44160638227395))-π/2
    2×atan(0.236547467658525)-π/2
    2×0.232277935375776-π/2
    0.464555870751551-1.57079632675     		φ = -1.10624046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29922213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.144165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10624046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.382909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71778 KachelY 95609 0.29922213 -1.10624046 17.144165 -63.382909
    Oben rechts KachelX + 1 71779 KachelY 95609 0.29927006 -1.10624046 17.146911 -63.382909
    Unten links KachelX 71778 KachelY + 1 95610 0.29922213 -1.10626193 17.144165 -63.384140
    Unten rechts KachelX + 1 71779 KachelY + 1 95610 0.29927006 -1.10626193 17.146911 -63.384140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10624046--1.10626193) × R
    2.14700000000789e-05 × 6371000     		dl = 136.785370000503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10624046--1.10626193) × R
    2.14700000000789e-05 × 6371000     		dr = 136.785370000503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29922213-0.29927006) × cos(-1.10624046) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.448025781395299 × 6371000     		do = 136.810062099288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29922213-0.29927006) × cos(-1.10626193) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.448006586668965 × 6371000     		du = 136.80420075869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10624046)-sin(-1.10626193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448025781395299-0.448006586668965)×R²
    abs(0.29927006-0.29922213)×1.91947263340486e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91947263340486e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91947263340486e-05×40589641000000     		ar = 18713.2140920722m²