Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71770 / 95630
↖ ↑ ↗
← S 63.408739°
E 17.122192°		 ← 136.72 m → S 63.408739°
E 17.124939°		 →
↑
136.72 m
↓
↑
136.72 m
↓
S 63.409969°
E 17.122192°		 ← 136.71 m →
18 692 m²		 S 63.409969°
E 17.124939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547565460205078 y=0.729602813720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547565460205078 × 217)
    floor (0.547565460205078 × 131072)
    floor (71770.5)     		tx = 71770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729602813720703 × 217)
    floor (0.729602813720703 × 131072)
    floor (95630.5)     		ty = 95630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71770 / 95630 ti = "17/71770/95630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71770/95630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71770 ÷ 217
    71770 ÷ 131072     		x = 0.547561645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95630 ÷ 217
    95630 ÷ 131072     		y = 0.729598999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547561645507812 × 2 - 1) × π
    0.095123291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29883863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729598999023438 × 2 - 1) × π
    -0.459197998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44261305716597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29883863} λ = 0.29883863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44261305716597))-π/2
    2×atan(0.236309461079785)-π/2
    2×0.232052528675972-π/2
    0.464105057351944-1.57079632675     		φ = -1.10669127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29883863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.122192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10669127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.408739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71770 KachelY 95630 0.29883863 -1.10669127 17.122192 -63.408739
    Oben rechts KachelX + 1 71771 KachelY 95630 0.29888657 -1.10669127 17.124939 -63.408739
    Unten links KachelX 71770 KachelY + 1 95631 0.29883863 -1.10671273 17.122192 -63.409969
    Unten rechts KachelX + 1 71771 KachelY + 1 95631 0.29888657 -1.10671273 17.124939 -63.409969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10669127--1.10671273) × R
    2.14599999999177e-05 × 6371000     		dl = 136.721659999475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10669127--1.10671273) × R
    2.14599999999177e-05 × 6371000     		dr = 136.721659999475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29883863-0.29888657) × cos(-1.10669127) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.447622702439567 × 6371000     		do = 136.715495133473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29883863-0.29888657) × cos(-1.10671273) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.447603512321205 × 6371000     		du = 136.709633977372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10669127)-sin(-1.10671273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447622702439567-0.447603512321205)×R²
    abs(0.29888657-0.29883863)×1.91901183616561e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91901183616561e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91901183616561e-05×40589641000000     		ar = 18691.5687695003m²