Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71761 / 95411
↖ ↑ ↗
← S 63.138227°
E 17.097473°		 ← 138 m → S 63.138227°
E 17.100220°		 →
↑
138 m
↓
↑
138 m
↓
S 63.139468°
E 17.097473°		 ← 138 m →
19 043 m²		 S 63.139468°
E 17.100220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547496795654297 y=0.727931976318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547496795654297 × 217)
    floor (0.547496795654297 × 131072)
    floor (71761.5)     		tx = 71761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727931976318359 × 217)
    floor (0.727931976318359 × 131072)
    floor (95411.5)     		ty = 95411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71761 / 95411 ti = "17/71761/95411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71761/95411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71761 ÷ 217
    71761 ÷ 131072     		x = 0.547492980957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95411 ÷ 217
    95411 ÷ 131072     		y = 0.727928161621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547492980957031 × 2 - 1) × π
    0.0949859619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29840720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727928161621094 × 2 - 1) × π
    -0.455856323242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.43211487614918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29840720} λ = 0.29840720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43211487614918))-π/2
    2×atan(0.238803348313379)-π/2
    2×0.234413195338519-π/2
    0.468826390677037-1.57079632675     		φ = -1.10196994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29840720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.097473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10196994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.138227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71761 KachelY 95411 0.29840720 -1.10196994 17.097473 -63.138227
    Oben rechts KachelX + 1 71762 KachelY 95411 0.29845514 -1.10196994 17.100220 -63.138227
    Unten links KachelX 71761 KachelY + 1 95412 0.29840720 -1.10199160 17.097473 -63.139468
    Unten rechts KachelX + 1 71762 KachelY + 1 95412 0.29845514 -1.10199160 17.100220 -63.139468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10196994--1.10199160) × R
    2.16600000000344e-05 × 6371000     		dl = 137.995860000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10196994--1.10199160) × R
    2.16600000000344e-05 × 6371000     		dr = 137.995860000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29840720-0.29845514) × cos(-1.10196994) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.451839617407501 × 6371000     		do = 138.003449508072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29840720-0.29845514) × cos(-1.10199160) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.451820294433112 × 6371000     		du = 137.99754777432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10196994)-sin(-1.10199160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451839617407501-0.451820294433112)×R²
    abs(0.29845514-0.29840720)×1.93229743889467e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93229743889467e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93229743889467e-05×40589641000000     		ar = 19043.4974911097m²