Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7176 / 10115
↖ ↑ ↗
← S 38.873929°
W 22.324219°		 ← 1 902.16 m → S 38.873929°
W 22.302246°		 →
↑
1 901.87 m
↓
↑
1 901.87 m
↓
S 38.891033°
W 22.324219°		 ← 1 901.70 m →
3 617 233 m²		 S 38.891033°
W 22.302246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438018798828125 y=0.617401123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438018798828125 × 214)
    floor (0.438018798828125 × 16384)
    floor (7176.5)     		tx = 7176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617401123046875 × 214)
    floor (0.617401123046875 × 16384)
    floor (10115.5)     		ty = 10115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7176 / 10115 ti = "14/7176/10115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7176/10115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7176 ÷ 214
    7176 ÷ 16384     		x = 0.43798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10115 ÷ 214
    10115 ÷ 16384     		y = 0.61737060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43798828125 × 2 - 1) × π
    -0.1240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38963112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61737060546875 × 2 - 1) × π
    -0.2347412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.737461263754944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38963112} λ = -0.38963112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.737461263754944))-π/2
    2×atan(0.478326720756297)-π/2
    2×0.446159140308322-π/2
    0.892318280616644-1.57079632675     		φ = -0.67847805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38963112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.324219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67847805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.873929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7176 KachelY 10115 -0.38963112 -0.67847805 -22.324219 -38.873929
    Oben rechts KachelX + 1 7177 KachelY 10115 -0.38924762 -0.67847805 -22.302246 -38.873929
    Unten links KachelX 7176 KachelY + 1 10116 -0.38963112 -0.67877657 -22.324219 -38.891033
    Unten rechts KachelX + 1 7177 KachelY + 1 10116 -0.38924762 -0.67877657 -22.302246 -38.891033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67847805--0.67877657) × R
    0.000298519999999969 × 6371000     		dl = 1901.8709199998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67847805--0.67877657) × R
    0.000298519999999969 × 6371000     		dr = 1901.8709199998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38963112--0.38924762) × cos(-0.67847805) × R
    0.000383499999999981 × 0.778528809366346 × 6371000     		do = 1902.1627015553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38963112--0.38924762) × cos(-0.67877657) × R
    0.000383499999999981 × 0.778341420880445 × 6371000     		du = 1901.70485929655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67847805)-sin(-0.67877657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778528809366346-0.778341420880445)×R²
    abs(-0.38924762--0.38963112)×0.000187388485901385×R²
    0.000383499999999981×0.000187388485901385×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187388485901385×40589641000000     		ar = 3617232.57561951m²