Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71758 / 95889
↖ ↑ ↗
← S 63.725399°
E 17.089233°		 ← 135.20 m → S 63.725399°
E 17.091980°		 →
↑
135.19 m
↓
↑
135.19 m
↓
S 63.726615°
E 17.089233°		 ← 135.20 m →
18 278 m²		 S 63.726615°
E 17.091980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547473907470703 y=0.731578826904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547473907470703 × 217)
    floor (0.547473907470703 × 131072)
    floor (71758.5)     		tx = 71758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731578826904297 × 217)
    floor (0.731578826904297 × 131072)
    floor (95889.5)     		ty = 95889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71758 / 95889 ti = "17/71758/95889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71758/95889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71758 ÷ 217
    71758 ÷ 131072     		x = 0.547470092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95889 ÷ 217
    95889 ÷ 131072     		y = 0.731575012207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547470092773438 × 2 - 1) × π
    0.094940185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.29826339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731575012207031 × 2 - 1) × π
    -0.463150024414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.45502871416756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29826339} λ = 0.29826339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45502871416756))-π/2
    2×atan(0.233393662100211)-π/2
    2×0.229289146306813-π/2
    0.458578292613626-1.57079632675     		φ = -1.11221803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29826339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.089233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11221803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.725399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71758 KachelY 95889 0.29826339 -1.11221803 17.089233 -63.725399
    Oben rechts KachelX + 1 71759 KachelY 95889 0.29831133 -1.11221803 17.091980 -63.725399
    Unten links KachelX 71758 KachelY + 1 95890 0.29826339 -1.11223925 17.089233 -63.726615
    Unten rechts KachelX + 1 71759 KachelY + 1 95890 0.29831133 -1.11223925 17.091980 -63.726615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11221803--1.11223925) × R
    2.1220000000044e-05 × 6371000     		dl = 135.19262000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11221803--1.11223925) × R
    2.1220000000044e-05 × 6371000     		dr = 135.19262000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29826339-0.29831133) × cos(-1.11221803) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.442673738024236 × 6371000     		do = 135.20395401453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29826339-0.29831133) × cos(-1.11223925) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.442654710316528 × 6371000     		du = 135.198142462822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11221803)-sin(-1.11223925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442673738024236-0.442654710316528)×R²
    abs(0.29831133-0.29826339)×1.90277077080081e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90277077080081e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90277077080081e-05×40589641000000     		ar = 18278.1839386909m²