Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71750 / 95489
↖ ↑ ↗
← S 63.234864°
E 17.067260°		 ← 137.54 m → S 63.234864°
E 17.070007°		 →
↑
137.55 m
↓
↑
137.55 m
↓
S 63.236101°
E 17.067260°		 ← 137.54 m →
18 919 m²		 S 63.236101°
E 17.070007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547412872314453 y=0.728527069091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547412872314453 × 217)
    floor (0.547412872314453 × 131072)
    floor (71750.5)     		tx = 71750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728527069091797 × 217)
    floor (0.728527069091797 × 131072)
    floor (95489.5)     		ty = 95489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71750 / 95489 ti = "17/71750/95489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71750/95489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71750 ÷ 217
    71750 ÷ 131072     		x = 0.547409057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95489 ÷ 217
    95489 ÷ 131072     		y = 0.728523254394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547409057617188 × 2 - 1) × π
    0.094818115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29787989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728523254394531 × 2 - 1) × π
    -0.457046508789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.43585395431954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29787989} λ = 0.29787989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43585395431954))-π/2
    2×atan(0.237912111167712)-π/2
    2×0.233569871197903-π/2
    0.467139742395806-1.57079632675     		φ = -1.10365658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29787989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.067260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10365658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.234864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71750 KachelY 95489 0.29787989 -1.10365658 17.067260 -63.234864
    Oben rechts KachelX + 1 71751 KachelY 95489 0.29792783 -1.10365658 17.070007 -63.234864
    Unten links KachelX 71750 KachelY + 1 95490 0.29787989 -1.10367817 17.067260 -63.236101
    Unten rechts KachelX + 1 71751 KachelY + 1 95490 0.29792783 -1.10367817 17.070007 -63.236101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10365658--1.10367817) × R
    2.15900000000158e-05 × 6371000     		dl = 137.5498900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10365658--1.10367817) × R
    2.15900000000158e-05 × 6371000     		dr = 137.5498900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29787989-0.29792783) × cos(-1.10365658) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450334325261238 × 6371000     		do = 137.543694540383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29787989-0.29792783) × cos(-1.10367817) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450315048308691 × 6371000     		du = 137.537806862887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10365658)-sin(-1.10367817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450334325261238-0.450315048308691)×R²
    abs(0.29792783-0.29787989)×1.92769525473868e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92769525473868e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92769525473868e-05×40589641000000     		ar = 18918.7151301085m²