Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7175 / 3725
↖ ↑ ↗
← N 69.557553°
W 22.346192°		 ← 853.35 m → N 69.557553°
W 22.324219°		 →
↑
853.52 m
↓
↑
853.52 m
↓
N 69.549877°
W 22.346192°		 ← 853.66 m →
728 489 m²		 N 69.549877°
W 22.324219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437957763671875 y=0.227386474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437957763671875 × 214)
    floor (0.437957763671875 × 16384)
    floor (7175.5)     		tx = 7175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227386474609375 × 214)
    floor (0.227386474609375 × 16384)
    floor (3725.5)     		ty = 3725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7175 / 3725 ti = "14/7175/3725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7175/3725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7175 ÷ 214
    7175 ÷ 16384     		x = 0.43792724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3725 ÷ 214
    3725 ÷ 16384     		y = 0.22735595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43792724609375 × 2 - 1) × π
    -0.1241455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39001462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22735595703125 × 2 - 1) × π
    0.5452880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71307304482233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39001462} λ = -0.39001462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71307304482233))-π/2
    2×atan(5.54597835749122)-π/2
    2×1.39240232287817-π/2
    2.78480464575635-1.57079632675     		φ = 1.21400832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39001462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.346192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21400832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.557553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7175 KachelY 3725 -0.39001462 1.21400832 -22.346192 69.557553
    Oben rechts KachelX + 1 7176 KachelY 3725 -0.38963112 1.21400832 -22.324219 69.557553
    Unten links KachelX 7175 KachelY + 1 3726 -0.39001462 1.21387435 -22.346192 69.549877
    Unten rechts KachelX + 1 7176 KachelY + 1 3726 -0.38963112 1.21387435 -22.324219 69.549877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21400832-1.21387435) × R
    0.000133970000000039 × 6371000     		dl = 853.522870000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21400832-1.21387435) × R
    0.000133970000000039 × 6371000     		dr = 853.522870000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39001462--0.38963112) × cos(1.21400832) × R
    0.000383499999999981 × 0.349266327018167 × 6371000     		do = 853.354907577415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39001462--0.38963112) × cos(1.21387435) × R
    0.000383499999999981 × 0.349391856921296 × 6371000     		du = 853.661612090836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21400832)-sin(1.21387435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349266327018167-0.349391856921296)×R²
    abs(-0.38963112--0.39001462)×0.000125529903128474×R²
    0.000383499999999981×0.000125529903128474×6371000²
    0.000383499999999981×0.000125529903128474×40589641000000     		ar = 728488.820593375m²