Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7175 / 17414
↖ ↑ ↗
← N 64.153742°
W140.586548°		 ← 266.28 m → N 64.153742°
W140.581055°		 →
↑
266.31 m
↓
↑
266.31 m
↓
N 64.151347°
W140.586548°		 ← 266.30 m →
70 915 m²		 N 64.151347°
W140.581055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109489440917969 y=0.265724182128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109489440917969 × 216)
    floor (0.109489440917969 × 65536)
    floor (7175.5)     		tx = 7175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265724182128906 × 216)
    floor (0.265724182128906 × 65536)
    floor (17414.5)     		ty = 17414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7175 / 17414 ti = "16/7175/17414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7175/17414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7175 ÷ 216
    7175 ÷ 65536     		x = 0.109481811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17414 ÷ 216
    17414 ÷ 65536     		y = 0.265716552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109481811523438 × 2 - 1) × π
    -0.781036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45369814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265716552734375 × 2 - 1) × π
    0.46856689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.47204631353268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45369814} λ = -2.45369814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47204631353268))-π/2
    2×atan(4.35814415199474)-π/2
    2×1.34524517511019-π/2
    2.69049035022038-1.57079632675     		φ = 1.11969402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45369814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.586548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11969402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.153742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7175 KachelY 17414 -2.45369814 1.11969402 -140.586548 64.153742
    Oben rechts KachelX + 1 7176 KachelY 17414 -2.45360227 1.11969402 -140.581055 64.153742
    Unten links KachelX 7175 KachelY + 1 17415 -2.45369814 1.11965222 -140.586548 64.151347
    Unten rechts KachelX + 1 7176 KachelY + 1 17415 -2.45360227 1.11965222 -140.581055 64.151347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11969402-1.11965222) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dl = 266.307799999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11969402-1.11965222) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dr = 266.307799999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45369814--2.45360227) × cos(1.11969402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435957838610597 × 6371000     		do = 266.277716058981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45369814--2.45360227) × cos(1.11965222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435995456854084 × 6371000     		du = 266.300692822031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11969402)-sin(1.11965222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435957838610597-0.435995456854084)×R²
    abs(-2.45360227--2.45369814)×3.76182434865258e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.76182434865258e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.76182434865258e-05×40589641000000     		ar = 70914.8922085235m²