Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 7175 / 17413
↖ ↑ ↗
← N 64.156137°
W140.586548°		 ← 266.25 m → N 64.156137°
W140.581055°		 →
↑
266.31 m
↓
↑
266.31 m
↓
N 64.153742°
W140.586548°		 ← 266.28 m →
70 909 m²		 N 64.153742°
W140.581055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109489440917969 y=0.265708923339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109489440917969 × 216)
    floor (0.109489440917969 × 65536)
    floor (7175.5)     		tx = 7175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265708923339844 × 216)
    floor (0.265708923339844 × 65536)
    floor (17413.5)     		ty = 17413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7175 / 17413 ti = "16/7175/17413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7175/17413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7175 ÷ 216
    7175 ÷ 65536     		x = 0.109481811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17413 ÷ 216
    17413 ÷ 65536     		y = 0.265701293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109481811523438 × 2 - 1) × π
    -0.781036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45369814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265701293945312 × 2 - 1) × π
    0.468597412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.47214218733192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45369814} λ = -2.45369814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47214218733192))-π/2
    2×atan(4.35856200386243)-π/2
    2×1.34526607267562-π/2
    2.69053214535124-1.57079632675     		φ = 1.11973582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45369814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.586548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11973582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.156137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7175 KachelY 17413 -2.45369814 1.11973582 -140.586548 64.156137
    Oben rechts KachelX + 1 7176 KachelY 17413 -2.45360227 1.11973582 -140.581055 64.156137
    Unten links KachelX 7175 KachelY + 1 17414 -2.45369814 1.11969402 -140.586548 64.153742
    Unten rechts KachelX + 1 7176 KachelY + 1 17414 -2.45360227 1.11969402 -140.581055 64.153742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11973582-1.11969402) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dl = 266.307799999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11973582-1.11969402) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dr = 266.307799999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45369814--2.45360227) × cos(1.11973582) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435920219605388 × 6371000     		do = 266.254738830679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45369814--2.45360227) × cos(1.11969402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435957838610597 × 6371000     		du = 266.277716058981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11973582)-sin(1.11969402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435920219605388-0.435957838610597)×R²
    abs(-2.45360227--2.45369814)×3.76190052095438e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.76190052095438e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.76190052095438e-05×40589641000000     		ar = 70908.7732553583m²