Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7175 / 10600
↖ ↑ ↗
← S 46.679595°
W 22.346192°		 ← 1 676.28 m → S 46.679595°
W 22.324219°		 →
↑
1 676.02 m
↓
↑
1 676.02 m
↓
S 46.694667°
W 22.346192°		 ← 1 675.81 m →
2 809 082 m²		 S 46.694667°
W 22.324219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437957763671875 y=0.647003173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437957763671875 × 214)
    floor (0.437957763671875 × 16384)
    floor (7175.5)     		tx = 7175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647003173828125 × 214)
    floor (0.647003173828125 × 16384)
    floor (10600.5)     		ty = 10600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7175 / 10600 ti = "14/7175/10600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7175/10600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7175 ÷ 214
    7175 ÷ 16384     		x = 0.43792724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10600 ÷ 214
    10600 ÷ 16384     		y = 0.64697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43792724609375 × 2 - 1) × π
    -0.1241455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39001462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64697265625 × 2 - 1) × π
    -0.2939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.923456434280762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39001462} λ = -0.39001462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.923456434280762))-π/2
    2×atan(0.397143964010139)-π/2
    2×0.37804185494593-π/2
    0.756083709891861-1.57079632675     		φ = -0.81471262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39001462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.346192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81471262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.679595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7175 KachelY 10600 -0.39001462 -0.81471262 -22.346192 -46.679595
    Oben rechts KachelX + 1 7176 KachelY 10600 -0.38963112 -0.81471262 -22.324219 -46.679595
    Unten links KachelX 7175 KachelY + 1 10601 -0.39001462 -0.81497569 -22.346192 -46.694667
    Unten rechts KachelX + 1 7176 KachelY + 1 10601 -0.38963112 -0.81497569 -22.324219 -46.694667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81471262--0.81497569) × R
    0.000263070000000032 × 6371000     		dl = 1676.0189700002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81471262--0.81497569) × R
    0.000263070000000032 × 6371000     		dr = 1676.0189700002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39001462--0.38963112) × cos(-0.81471262) × R
    0.000383499999999981 × 0.686077498914387 × 6371000     		do = 1676.27840243121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39001462--0.38963112) × cos(-0.81497569) × R
    0.000383499999999981 × 0.685886084263372 × 6371000     		du = 1675.8107231298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81471262)-sin(-0.81497569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686077498914387-0.685886084263372)×R²
    abs(-0.38963112--0.39001462)×0.000191414651015687×R²
    0.000383499999999981×0.000191414651015687×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191414651015687×40589641000000     		ar = 2809082.49798621m²