Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7175 / 10117
↖ ↑ ↗
← S 38.908133°
W 22.346192°		 ← 1 901.25 m → S 38.908133°
W 22.324219°		 →
↑
1 900.98 m
↓
↑
1 900.98 m
↓
S 38.925229°
W 22.346192°		 ← 1 900.79 m →
3 613 795 m²		 S 38.925229°
W 22.324219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437957763671875 y=0.617523193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437957763671875 × 214)
    floor (0.437957763671875 × 16384)
    floor (7175.5)     		tx = 7175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617523193359375 × 214)
    floor (0.617523193359375 × 16384)
    floor (10117.5)     		ty = 10117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7175 / 10117 ti = "14/7175/10117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7175/10117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7175 ÷ 214
    7175 ÷ 16384     		x = 0.43792724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10117 ÷ 214
    10117 ÷ 16384     		y = 0.61749267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43792724609375 × 2 - 1) × π
    -0.1241455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39001462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61749267578125 × 2 - 1) × π
    -0.2349853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.738228254148865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39001462} λ = -0.39001462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.738228254148865))-π/2
    2×atan(0.477959989414008)-π/2
    2×0.445860650113923-π/2
    0.891721300227845-1.57079632675     		φ = -0.67907503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39001462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.346192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67907503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.908133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7175 KachelY 10117 -0.39001462 -0.67907503 -22.346192 -38.908133
    Oben rechts KachelX + 1 7176 KachelY 10117 -0.38963112 -0.67907503 -22.324219 -38.908133
    Unten links KachelX 7175 KachelY + 1 10118 -0.39001462 -0.67937341 -22.346192 -38.925229
    Unten rechts KachelX + 1 7176 KachelY + 1 10118 -0.38963112 -0.67937341 -22.324219 -38.925229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67907503--0.67937341) × R
    0.000298379999999931 × 6371000     		dl = 1900.97897999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67907503--0.67937341) × R
    0.000298379999999931 × 6371000     		dr = 1900.97897999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39001462--0.38963112) × cos(-0.67907503) × R
    0.000383499999999981 × 0.778154000717691 × 6371000     		do = 1901.24693964243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39001462--0.38963112) × cos(-0.67937341) × R
    0.000383499999999981 × 0.777966561502704 × 6371000     		du = 1900.78897343839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67907503)-sin(-0.67937341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778154000717691-0.777966561502704)×R²
    abs(-0.38963112--0.39001462)×0.000187439214987428×R²
    0.000383499999999981×0.000187439214987428×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187439214987428×40589641000000     		ar = 3613795.20279617m²