Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71748 / 95786
↖ ↑ ↗
← S 63.599890°
E 17.061768°		 ← 135.80 m → S 63.599890°
E 17.064514°		 →
↑
135.77 m
↓
↑
135.77 m
↓
S 63.601111°
E 17.061768°		 ← 135.80 m →
18 437 m²		 S 63.601111°
E 17.064514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547397613525391 y=0.730792999267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547397613525391 × 217)
    floor (0.547397613525391 × 131072)
    floor (71748.5)     		tx = 71748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730792999267578 × 217)
    floor (0.730792999267578 × 131072)
    floor (95786.5)     		ty = 95786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71748 / 95786 ti = "17/71748/95786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71748/95786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71748 ÷ 217
    71748 ÷ 131072     		x = 0.547393798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95786 ÷ 217
    95786 ÷ 131072     		y = 0.730789184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547393798828125 × 2 - 1) × π
    0.09478759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29778402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730789184570312 × 2 - 1) × π
    -0.461578369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4500912135067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29778402} λ = 0.29778402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4500912135067))-π/2
    2×atan(0.234548893091025)-π/2
    2×0.230384419162469-π/2
    0.460768838324938-1.57079632675     		φ = -1.11002749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29778402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.061768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11002749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.599890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71748 KachelY 95786 0.29778402 -1.11002749 17.061768 -63.599890
    Oben rechts KachelX + 1 71749 KachelY 95786 0.29783196 -1.11002749 17.064514 -63.599890
    Unten links KachelX 71748 KachelY + 1 95787 0.29778402 -1.11004880 17.061768 -63.601111
    Unten rechts KachelX + 1 71749 KachelY + 1 95787 0.29783196 -1.11004880 17.064514 -63.601111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11002749--1.11004880) × R
    2.13099999999411e-05 × 6371000     		dl = 135.766009999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11002749--1.11004880) × R
    2.13099999999411e-05 × 6371000     		dr = 135.766009999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29778402-0.29783196) × cos(-1.11002749) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.444636893816825 × 6371000     		do = 135.803552325373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29778402-0.29783196) × cos(-1.11004880) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.444617806116396 × 6371000     		du = 135.797722450345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11002749)-sin(-1.11004880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444636893816825-0.444617806116396)×R²
    abs(0.29783196-0.29778402)×1.90877004295764e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90877004295764e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90877004295764e-05×40589641000000     		ar = 18437.1106944013m²