Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71738 / 95754
↖ ↑ ↗
← S 63.560784°
E 17.034302°		 ← 135.99 m → S 63.560784°
E 17.037048°		 →
↑
135.96 m
↓
↑
135.96 m
↓
S 63.562007°
E 17.034302°		 ← 135.98 m →
18 488 m²		 S 63.562007°
E 17.037048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547321319580078 y=0.730548858642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547321319580078 × 217)
    floor (0.547321319580078 × 131072)
    floor (71738.5)     		tx = 71738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730548858642578 × 217)
    floor (0.730548858642578 × 131072)
    floor (95754.5)     		ty = 95754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71738 / 95754 ti = "17/71738/95754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71738/95754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71738 ÷ 217
    71738 ÷ 131072     		x = 0.547317504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95754 ÷ 217
    95754 ÷ 131072     		y = 0.730545043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547317504882812 × 2 - 1) × π
    0.094635009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29730465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730545043945312 × 2 - 1) × π
    -0.461090087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44855723271886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29730465} λ = 0.29730465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44855723271886))-π/2
    2×atan(0.23490896268615)-π/2
    2×0.230725685760422-π/2
    0.461451371520843-1.57079632675     		φ = -1.10934496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29730465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.034302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10934496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.560784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71738 KachelY 95754 0.29730465 -1.10934496 17.034302 -63.560784
    Oben rechts KachelX + 1 71739 KachelY 95754 0.29735259 -1.10934496 17.037048 -63.560784
    Unten links KachelX 71738 KachelY + 1 95755 0.29730465 -1.10936630 17.034302 -63.562007
    Unten rechts KachelX + 1 71739 KachelY + 1 95755 0.29735259 -1.10936630 17.037048 -63.562007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10934496--1.10936630) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dl = 135.957139999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10934496--1.10936630) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dr = 135.957139999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29730465-0.29735259) × cos(-1.10934496) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.445248139769716 × 6371000     		do = 135.990242572857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29730465-0.29735259) × cos(-1.10936630) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.445229031678208 × 6371000     		du = 135.984406469868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10934496)-sin(-1.10936630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445248139769716-0.445229031678208)×R²
    abs(0.29735259-0.29730465)×1.91080915078468e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91080915078468e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91080915078468e-05×40589641000000     		ar = 18488.4477187454m²