Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71732 / 95440
↖ ↑ ↗
← S 63.174194°
E 17.017822°		 ← 137.83 m → S 63.174194°
E 17.020569°		 →
↑
137.80 m
↓
↑
137.80 m
↓
S 63.175433°
E 17.017822°		 ← 137.83 m →
18 994 m²		 S 63.175433°
E 17.020569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547275543212891 y=0.728153228759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547275543212891 × 217)
    floor (0.547275543212891 × 131072)
    floor (71732.5)     		tx = 71732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728153228759766 × 217)
    floor (0.728153228759766 × 131072)
    floor (95440.5)     		ty = 95440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71732 / 95440 ti = "17/71732/95440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71732/95440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71732 ÷ 217
    71732 ÷ 131072     		x = 0.547271728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95440 ÷ 217
    95440 ÷ 131072     		y = 0.7281494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547271728515625 × 2 - 1) × π
    0.09454345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29701703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7281494140625 × 2 - 1) × π
    -0.456298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43350504623816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29701703} λ = 0.29701703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43350504623816))-π/2
    2×atan(0.238471601686951)-π/2
    2×0.234099323063832-π/2
    0.468198646127665-1.57079632675     		φ = -1.10259768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29701703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.017822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10259768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.174194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71732 KachelY 95440 0.29701703 -1.10259768 17.017822 -63.174194
    Oben rechts KachelX + 1 71733 KachelY 95440 0.29706497 -1.10259768 17.020569 -63.174194
    Unten links KachelX 71732 KachelY + 1 95441 0.29701703 -1.10261931 17.017822 -63.175433
    Unten rechts KachelX + 1 71733 KachelY + 1 95441 0.29706497 -1.10261931 17.020569 -63.175433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10259768--1.10261931) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dl = 137.804729999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10259768--1.10261931) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dr = 137.804729999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29701703-0.29706497) × cos(-1.10259768) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.451279522074995 × 6371000     		do = 137.832381976511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29701703-0.29706497) × cos(-1.10261931) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.451260219732722 × 6371000     		du = 137.826486544339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10259768)-sin(-1.10261931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451279522074995-0.451260219732722)×R²
    abs(0.29706497-0.29701703)×1.93023422721539e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93023422721539e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93023422721539e-05×40589641000000     		ar = 18993.5479751704m²