Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7173 / 7198
↖ ↑ ↗
← N 70.502908°
W101.195068°		 ← 407.73 m → N 70.502908°
W101.184082°		 →
↑
407.74 m
↓
↑
407.74 m
↓
N 70.499241°
W101.195068°		 ← 407.81 m →
166 266 m²		 N 70.499241°
W101.184082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218917846679688 y=0.219680786132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218917846679688 × 215)
    floor (0.218917846679688 × 32768)
    floor (7173.5)     		tx = 7173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219680786132812 × 215)
    floor (0.219680786132812 × 32768)
    floor (7198.5)     		ty = 7198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7173 / 7198 ti = "15/7173/7198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7173/7198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7173 ÷ 215
    7173 ÷ 32768     		x = 0.218902587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7198 ÷ 215
    7198 ÷ 32768     		y = 0.21966552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.56219482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76618713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21966552734375 × 2 - 1) × π
    0.5606689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76139343963934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76618713} λ = -1.76618713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76139343963934))-π/2
    2×atan(5.82054232062046)-π/2
    2×1.40065210563187-π/2
    2.80130421126374-1.57079632675     		φ = 1.23050788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76618713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.195068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23050788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.502908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7173 KachelY 7198 -1.76618713 1.23050788 -101.195068 70.502908
    Oben rechts KachelX + 1 7174 KachelY 7198 -1.76599538 1.23050788 -101.184082 70.502908
    Unten links KachelX 7173 KachelY + 1 7199 -1.76618713 1.23044388 -101.195068 70.499241
    Unten rechts KachelX + 1 7174 KachelY + 1 7199 -1.76599538 1.23044388 -101.184082 70.499241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23050788-1.23044388) × R
    6.4000000000064e-05 × 6371000     		dl = 407.744000000408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23050788-1.23044388) × R
    6.4000000000064e-05 × 6371000     		dr = 407.744000000408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76618713--1.76599538) × cos(1.23050788) × R
    0.000191750000000157 × 0.333759012825367 × 6371000     		do = 407.733110109056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76618713--1.76599538) × cos(1.23044388) × R
    0.000191750000000157 × 0.333819342281501 × 6371000     		du = 407.8068109406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23050788)-sin(1.23044388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333759012825367-0.333819342281501)×R²
    abs(-1.76599538--1.76618713)×6.03294561341561e-05×R²
    0.000191750000000157×6.03294561341561e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.03294561341561e-05×40589641000000     		ar = 166265.754841098m²