Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7173 / 10893
↖ ↑ ↗
← S 50.916887°
W 22.390137°		 ← 1 540.36 m → S 50.916887°
W 22.368164°		 →
↑
1 540.13 m
↓
↑
1 540.13 m
↓
S 50.930738°
W 22.390137°		 ← 1 539.90 m →
2 371 991 m²		 S 50.930738°
W 22.368164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437835693359375 y=0.664886474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437835693359375 × 214)
    floor (0.437835693359375 × 16384)
    floor (7173.5)     		tx = 7173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664886474609375 × 214)
    floor (0.664886474609375 × 16384)
    floor (10893.5)     		ty = 10893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7173 / 10893 ti = "14/7173/10893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7173/10893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7173 ÷ 214
    7173 ÷ 16384     		x = 0.43780517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10893 ÷ 214
    10893 ÷ 16384     		y = 0.66485595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43780517578125 × 2 - 1) × π
    -0.1243896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39078161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66485595703125 × 2 - 1) × π
    -0.3297119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03582052699017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39078161} λ = -0.39078161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03582052699017))-π/2
    2×atan(0.354935027639744)-π/2
    2×0.341064497629363-π/2
    0.682128995258726-1.57079632675     		φ = -0.88866733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39078161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.390137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88866733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.916887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7173 KachelY 10893 -0.39078161 -0.88866733 -22.390137 -50.916887
    Oben rechts KachelX + 1 7174 KachelY 10893 -0.39039811 -0.88866733 -22.368164 -50.916887
    Unten links KachelX 7173 KachelY + 1 10894 -0.39078161 -0.88890907 -22.390137 -50.930738
    Unten rechts KachelX + 1 7174 KachelY + 1 10894 -0.39039811 -0.88890907 -22.368164 -50.930738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88866733--0.88890907) × R
    0.00024173999999999 × 6371000     		dl = 1540.12553999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88866733--0.88890907) × R
    0.00024173999999999 × 6371000     		dr = 1540.12553999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39078161--0.39039811) × cos(-0.88866733) × R
    0.000383499999999981 × 0.630447047552207 × 6371000     		do = 1540.35771667271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39078161--0.39039811) × cos(-0.88890907) × R
    0.000383499999999981 × 0.630259382746591 × 6371000     		du = 1539.89919928794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88866733)-sin(-0.88890907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630447047552207-0.630259382746591)×R²
    abs(-0.39039811--0.39078161)×0.000187664805616827×R²
    0.000383499999999981×0.000187664805616827×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187664805616827×40589641000000     		ar = 2371991.18456743m²