Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71727 / 95893
↖ ↑ ↗
← S 63.730262°
E 17.004090°		 ← 135.15 m → S 63.730262°
E 17.006836°		 →
↑
135.13 m
↓
↑
135.13 m
↓
S 63.731478°
E 17.004090°		 ← 135.15 m →
18 263 m²		 S 63.731478°
E 17.006836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547237396240234 y=0.731609344482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547237396240234 × 217)
    floor (0.547237396240234 × 131072)
    floor (71727.5)     		tx = 71727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731609344482422 × 217)
    floor (0.731609344482422 × 131072)
    floor (95893.5)     		ty = 95893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71727 / 95893 ti = "17/71727/95893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71727/95893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71727 ÷ 217
    71727 ÷ 131072     		x = 0.547233581542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95893 ÷ 217
    95893 ÷ 131072     		y = 0.731605529785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547233581542969 × 2 - 1) × π
    0.0944671630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29677735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731605529785156 × 2 - 1) × π
    -0.463211059570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.45522046176604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29677735} λ = 0.29677735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45522046176604))-π/2
    2×atan(0.233348913716338)-π/2
    2×0.229246709142494-π/2
    0.458493418284988-1.57079632675     		φ = -1.11230291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29677735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.004090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11230291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.730262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71727 KachelY 95893 0.29677735 -1.11230291 17.004090 -63.730262
    Oben rechts KachelX + 1 71728 KachelY 95893 0.29682528 -1.11230291 17.006836 -63.730262
    Unten links KachelX 71727 KachelY + 1 95894 0.29677735 -1.11232412 17.004090 -63.731478
    Unten rechts KachelX + 1 71728 KachelY + 1 95894 0.29682528 -1.11232412 17.006836 -63.731478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11230291--1.11232412) × R
    2.12100000001048e-05 × 6371000     		dl = 135.128910000667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11230291--1.11232412) × R
    2.12100000001048e-05 × 6371000     		dr = 135.128910000667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29677735-0.29682528) × cos(-1.11230291) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.442597625997505 × 6371000     		do = 135.152509547861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29677735-0.29682528) × cos(-1.11232412) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.442578606459856 × 6371000     		du = 135.146701703235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11230291)-sin(-1.11232412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442597625997505-0.442578606459856)×R²
    abs(0.29682528-0.29677735)×1.90195376485458e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90195376485458e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90195376485458e-05×40589641000000     		ar = 18262.6188959023m²