Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71724 / 95535
↖ ↑ ↗
← S 63.291705°
E 16.995849°		 ← 137.27 m → S 63.291705°
E 16.998596°		 →
↑
137.23 m
↓
↑
137.23 m
↓
S 63.292939°
E 16.995849°		 ← 137.27 m →
18 838 m²		 S 63.292939°
E 16.998596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547214508056641 y=0.728878021240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547214508056641 × 217)
    floor (0.547214508056641 × 131072)
    floor (71724.5)     		tx = 71724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728878021240234 × 217)
    floor (0.728878021240234 × 131072)
    floor (95535.5)     		ty = 95535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71724 / 95535 ti = "17/71724/95535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71724/95535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71724 ÷ 217
    71724 ÷ 131072     		x = 0.547210693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95535 ÷ 217
    95535 ÷ 131072     		y = 0.728874206542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547210693359375 × 2 - 1) × π
    0.09442138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.29663353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728874206542969 × 2 - 1) × π
    -0.457748413085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.43805905170206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29663353} λ = 0.29663353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43805905170206))-π/2
    2×atan(0.237388069787588)-π/2
    2×0.233073844222687-π/2
    0.466147688445374-1.57079632675     		φ = -1.10464864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29663353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.995849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10464864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.291705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71724 KachelY 95535 0.29663353 -1.10464864 16.995849 -63.291705
    Oben rechts KachelX + 1 71725 KachelY 95535 0.29668147 -1.10464864 16.998596 -63.291705
    Unten links KachelX 71724 KachelY + 1 95536 0.29663353 -1.10467018 16.995849 -63.292939
    Unten rechts KachelX + 1 71725 KachelY + 1 95536 0.29668147 -1.10467018 16.998596 -63.292939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10464864--1.10467018) × R
    2.15400000000976e-05 × 6371000     		dl = 137.231340000622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10464864--1.10467018) × R
    2.15400000000976e-05 × 6371000     		dr = 137.231340000622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29663353-0.29668147) × cos(-1.10464864) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449448333100418 × 6371000     		do = 137.27308972903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29663353-0.29668147) × cos(-1.10467018) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449429091177846 × 6371000     		du = 137.26721275059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10464864)-sin(-1.10467018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449448333100418-0.449429091177846)×R²
    abs(0.29668147-0.29663353)×1.92419225720775e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92419225720775e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92419225720775e-05×40589641000000     		ar = 18837.766797615m²