Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71723 / 95542
↖ ↑ ↗
← S 63.300345°
E 16.993103°		 ← 137.20 m → S 63.300345°
E 16.995849°		 →
↑
137.23 m
↓
↑
137.23 m
↓
S 63.301579°
E 16.993103°		 ← 137.20 m →
18 828 m²		 S 63.301579°
E 16.995849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547206878662109 y=0.728931427001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547206878662109 × 217)
    floor (0.547206878662109 × 131072)
    floor (71723.5)     		tx = 71723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728931427001953 × 217)
    floor (0.728931427001953 × 131072)
    floor (95542.5)     		ty = 95542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71723 / 95542 ti = "17/71723/95542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71723/95542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71723 ÷ 217
    71723 ÷ 131072     		x = 0.547203063964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95542 ÷ 217
    95542 ÷ 131072     		y = 0.728927612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547203063964844 × 2 - 1) × π
    0.0944061279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.29658560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728927612304688 × 2 - 1) × π
    -0.457855224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4383946099994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29658560} λ = 0.29658560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4383946099994))-π/2
    2×atan(0.23730842561446)-π/2
    2×0.23299844746492-π/2
    0.465996894929839-1.57079632675     		φ = -1.10479943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29658560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.993103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10479943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.300345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71723 KachelY 95542 0.29658560 -1.10479943 16.993103 -63.300345
    Oben rechts KachelX + 1 71724 KachelY 95542 0.29663353 -1.10479943 16.995849 -63.300345
    Unten links KachelX 71723 KachelY + 1 95543 0.29658560 -1.10482097 16.993103 -63.301579
    Unten rechts KachelX + 1 71724 KachelY + 1 95543 0.29663353 -1.10482097 16.995849 -63.301579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10479943--1.10482097) × R
    2.15400000000976e-05 × 6371000     		dl = 137.231340000622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10479943--1.10482097) × R
    2.15400000000976e-05 × 6371000     		dr = 137.231340000622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29658560-0.29663353) × cos(-1.10479943) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.449313626330016 × 6371000     		do = 137.20332104272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29658560-0.29663353) × cos(-1.10482097) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.449294382947878 × 6371000     		du = 137.197444844487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10479943)-sin(-1.10482097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449313626330016-0.449294382947878)×R²
    abs(0.29663353-0.29658560)×1.92433821377125e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.92433821377125e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.92433821377125e-05×40589641000000     		ar = 18828.1924006943m²