Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71721 / 95565
↖ ↑ ↗
← S 63.328715°
E 16.987610°		 ← 137.10 m → S 63.328715°
E 16.990356°		 →
↑
137.10 m
↓
↑
137.10 m
↓
S 63.329948°
E 16.987610°		 ← 137.09 m →
18 796 m²		 S 63.329948°
E 16.990356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547191619873047 y=0.729106903076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547191619873047 × 217)
    floor (0.547191619873047 × 131072)
    floor (71721.5)     		tx = 71721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729106903076172 × 217)
    floor (0.729106903076172 × 131072)
    floor (95565.5)     		ty = 95565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71721 / 95565 ti = "17/71721/95565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71721/95565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71721 ÷ 217
    71721 ÷ 131072     		x = 0.547187805175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95565 ÷ 217
    95565 ÷ 131072     		y = 0.729103088378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547187805175781 × 2 - 1) × π
    0.0943756103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29648972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729103088378906 × 2 - 1) × π
    -0.458206176757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.43949715869067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29648972} λ = 0.29648972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43949715869067))-π/2
    2×atan(0.237046925705055)-π/2
    2×0.232750874348968-π/2
    0.465501748697936-1.57079632675     		φ = -1.10529458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29648972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.987610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10529458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.328715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71721 KachelY 95565 0.29648972 -1.10529458 16.987610 -63.328715
    Oben rechts KachelX + 1 71722 KachelY 95565 0.29653766 -1.10529458 16.990356 -63.328715
    Unten links KachelX 71721 KachelY + 1 95566 0.29648972 -1.10531610 16.987610 -63.329948
    Unten rechts KachelX + 1 71722 KachelY + 1 95566 0.29653766 -1.10531610 16.990356 -63.329948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10529458--1.10531610) × R
    2.15199999999971e-05 × 6371000     		dl = 137.103919999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10529458--1.10531610) × R
    2.15199999999971e-05 × 6371000     		dr = 137.103919999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29648972-0.29653766) × cos(-1.10529458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.448871217087385 × 6371000     		do = 137.096823643525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29648972-0.29653766) × cos(-1.10531610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.448851986787664 × 6371000     		du = 137.090950215002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10529458)-sin(-1.10531610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448871217087385-0.448851986787664)×R²
    abs(0.29653766-0.29648972)×1.92302997218396e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92302997218396e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92302997218396e-05×40589641000000     		ar = 18796.1093067994m²