Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71721 / 95541
↖ ↑ ↗
← S 63.299110°
E 16.987610°		 ← 137.24 m → S 63.299110°
E 16.990356°		 →
↑
137.23 m
↓
↑
137.23 m
↓
S 63.300345°
E 16.987610°		 ← 137.23 m →
18 833 m²		 S 63.300345°
E 16.990356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547191619873047 y=0.728923797607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547191619873047 × 217)
    floor (0.547191619873047 × 131072)
    floor (71721.5)     		tx = 71721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728923797607422 × 217)
    floor (0.728923797607422 × 131072)
    floor (95541.5)     		ty = 95541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71721 / 95541 ti = "17/71721/95541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71721/95541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71721 ÷ 217
    71721 ÷ 131072     		x = 0.547187805175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95541 ÷ 217
    95541 ÷ 131072     		y = 0.728919982910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547187805175781 × 2 - 1) × π
    0.0943756103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29648972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728919982910156 × 2 - 1) × π
    -0.457839965820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.43834667309978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29648972} λ = 0.29648972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43834667309978))-π/2
    2×atan(0.237319801717303)-π/2
    2×0.233009217046586-π/2
    0.466018434093171-1.57079632675     		φ = -1.10477789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29648972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.987610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10477789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.299110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71721 KachelY 95541 0.29648972 -1.10477789 16.987610 -63.299110
    Oben rechts KachelX + 1 71722 KachelY 95541 0.29653766 -1.10477789 16.990356 -63.299110
    Unten links KachelX 71721 KachelY + 1 95542 0.29648972 -1.10479943 16.987610 -63.300345
    Unten rechts KachelX + 1 71722 KachelY + 1 95542 0.29653766 -1.10479943 16.990356 -63.300345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10477789--1.10479943) × R
    2.15399999998755e-05 × 6371000     		dl = 137.231339999207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10477789--1.10479943) × R
    2.15399999998755e-05 × 6371000     		dr = 137.231339999207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29648972-0.29653766) × cos(-1.10477789) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.449332869503685 × 6371000     		do = 137.237824174396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29648972-0.29653766) × cos(-1.10479943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.449313626330016 × 6371000     		du = 137.231946813839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10477789)-sin(-1.10479943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449332869503685-0.449313626330016)×R²
    abs(0.29653766-0.29648972)×1.92431736688037e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92431736688037e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92431736688037e-05×40589641000000     		ar = 18832.9272317304m²