Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71720 / 95545
↖ ↑ ↗
← S 63.304046°
E 16.984863°		 ← 137.19 m → S 63.304046°
E 16.987610°		 →
↑
137.23 m
↓
↑
137.23 m
↓
S 63.305281°
E 16.984863°		 ← 137.18 m →
18 826 m²		 S 63.305281°
E 16.987610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547183990478516 y=0.728954315185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547183990478516 × 217)
    floor (0.547183990478516 × 131072)
    floor (71720.5)     		tx = 71720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728954315185547 × 217)
    floor (0.728954315185547 × 131072)
    floor (95545.5)     		ty = 95545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71720 / 95545 ti = "17/71720/95545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71720/95545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71720 ÷ 217
    71720 ÷ 131072     		x = 0.54718017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95545 ÷ 217
    95545 ÷ 131072     		y = 0.728950500488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54718017578125 × 2 - 1) × π
    0.0943603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29644179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728950500488281 × 2 - 1) × π
    -0.457901000976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.43853842069827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29644179} λ = 0.29644179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43853842069827))-π/2
    2×atan(0.237274300577758)-π/2
    2×0.232966141487085-π/2
    0.46593228297417-1.57079632675     		φ = -1.10486404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29644179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.984863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10486404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.304046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71720 KachelY 95545 0.29644179 -1.10486404 16.984863 -63.304046
    Oben rechts KachelX + 1 71721 KachelY 95545 0.29648972 -1.10486404 16.987610 -63.304046
    Unten links KachelX 71720 KachelY + 1 95546 0.29644179 -1.10488558 16.984863 -63.305281
    Unten rechts KachelX + 1 71721 KachelY + 1 95546 0.29648972 -1.10488558 16.987610 -63.305281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10486404--1.10488558) × R
    2.15399999998755e-05 × 6371000     		dl = 137.231339999207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10486404--1.10488558) × R
    2.15399999998755e-05 × 6371000     		dr = 137.231339999207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29644179-0.29648972) × cos(-1.10486404) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.449255904492264 × 6371000     		do = 137.185694985328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29644179-0.29648972) × cos(-1.10488558) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.44923666048487 × 6371000     		du = 137.179818596165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10486404)-sin(-1.10488558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449255904492264-0.44923666048487)×R²
    abs(0.29648972-0.29644179)×1.92440073935041e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92440073935041e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92440073935041e-05×40589641000000     		ar = 18825.773539937m²