Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71718 / 95538
↖ ↑ ↗
← S 63.295408°
E 16.979370°		 ← 137.26 m → S 63.295408°
E 16.982117°		 →
↑
137.23 m
↓
↑
137.23 m
↓
S 63.296642°
E 16.979370°		 ← 137.25 m →
18 835 m²		 S 63.296642°
E 16.982117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547168731689453 y=0.728900909423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547168731689453 × 217)
    floor (0.547168731689453 × 131072)
    floor (71718.5)     		tx = 71718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728900909423828 × 217)
    floor (0.728900909423828 × 131072)
    floor (95538.5)     		ty = 95538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71718 / 95538 ti = "17/71718/95538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71718/95538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71718 ÷ 217
    71718 ÷ 131072     		x = 0.547164916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95538 ÷ 217
    95538 ÷ 131072     		y = 0.728897094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547164916992188 × 2 - 1) × π
    0.094329833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29634591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728897094726562 × 2 - 1) × π
    -0.457794189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43820286240092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29634591} λ = 0.29634591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43820286240092))-π/2
    2×atan(0.237353933298026)-π/2
    2×0.233041528558954-π/2
    0.466083057117908-1.57079632675     		φ = -1.10471327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29634591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.979370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10471327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.295408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71718 KachelY 95538 0.29634591 -1.10471327 16.979370 -63.295408
    Oben rechts KachelX + 1 71719 KachelY 95538 0.29639385 -1.10471327 16.982117 -63.295408
    Unten links KachelX 71718 KachelY + 1 95539 0.29634591 -1.10473481 16.979370 -63.296642
    Unten rechts KachelX + 1 71719 KachelY + 1 95539 0.29639385 -1.10473481 16.982117 -63.296642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10471327--1.10473481) × R
    2.15400000000976e-05 × 6371000     		dl = 137.231340000622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10471327--1.10473481) × R
    2.15400000000976e-05 × 6371000     		dr = 137.231340000622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29634591-0.29639385) × cos(-1.10471327) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.44939059777379 × 6371000     		do = 137.255455874171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29634591-0.29639385) × cos(-1.10473481) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449371355225581 × 6371000     		du = 137.249578704645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10471327)-sin(-1.10473481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44939059777379-0.449371355225581)×R²
    abs(0.29639385-0.29634591)×1.92425482091196e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92425482091196e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92425482091196e-05×40589641000000     		ar = 18835.3468668079m²