Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71713 / 63393
↖ ↑ ↗
← N  5.875600°
E 16.965637°		 ← 303.82 m → N  5.875600°
E 16.968384°		 →
↑
303.77 m
↓
↑
303.77 m
↓
N  5.872868°
E 16.965637°		 ← 303.82 m →
92 292 m²		 N  5.872868°
E 16.968384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547130584716797 y=0.483654022216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547130584716797 × 217)
    floor (0.547130584716797 × 131072)
    floor (71713.5)     		tx = 71713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.483654022216797 × 217)
    floor (0.483654022216797 × 131072)
    floor (63393.5)     		ty = 63393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71713 / 63393 ti = "17/71713/63393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71713/63393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71713 ÷ 217
    71713 ÷ 131072     		x = 0.547126770019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63393 ÷ 217
    63393 ÷ 131072     		y = 0.483650207519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547126770019531 × 2 - 1) × π
    0.0942535400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29610623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.483650207519531 × 2 - 1) × π
    0.0326995849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.10272877588578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29610623} λ = 0.29610623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.10272877588578))-π/2
    2×atan(1.10819080024349)-π/2
    2×0.836672445842645-π/2
    1.67334489168529-1.57079632675     		φ = 0.10254856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29610623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.965637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.10254856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.875600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71713 KachelY 63393 0.29610623 0.10254856 16.965637 5.875600
    Oben rechts KachelX + 1 71714 KachelY 63393 0.29615417 0.10254856 16.968384 5.875600
    Unten links KachelX 71713 KachelY + 1 63394 0.29610623 0.10250088 16.965637 5.872868
    Unten rechts KachelX + 1 71714 KachelY + 1 63394 0.29615417 0.10250088 16.968384 5.872868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.10254856-0.10250088) × R
    4.76799999999944e-05 × 6371000     		dl = 303.769279999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.10254856-0.10250088) × R
    4.76799999999944e-05 × 6371000     		dr = 303.769279999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29610623-0.29615417) × cos(0.10254856) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.994746502748205 × 6371000     		do = 303.821186714083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29610623-0.29615417) × cos(0.10250088) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.99475138256747 × 6371000     		du = 303.822677136493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.10254856)-sin(0.10250088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994746502748205-0.99475138256747)×R²
    abs(0.29615417-0.29610623)×4.87981926500236e-06×R²
    4.79399999999686e-05×4.87981926500236e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×4.87981926500236e-06×40589641000000     		ar = 92291.7695266276m²