Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7171 / 10894
↖ ↑ ↗
← S 50.930738°
W 22.434082°		 ← 1 539.90 m → S 50.930738°
W 22.412109°		 →
↑
1 539.62 m
↓
↑
1 539.62 m
↓
S 50.944584°
W 22.434082°		 ← 1 539.44 m →
2 370 500 m²		 S 50.944584°
W 22.412109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437713623046875 y=0.664947509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437713623046875 × 214)
    floor (0.437713623046875 × 16384)
    floor (7171.5)     		tx = 7171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664947509765625 × 214)
    floor (0.664947509765625 × 16384)
    floor (10894.5)     		ty = 10894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7171 / 10894 ti = "14/7171/10894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7171/10894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7171 ÷ 214
    7171 ÷ 16384     		x = 0.43768310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10894 ÷ 214
    10894 ÷ 16384     		y = 0.6649169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43768310546875 × 2 - 1) × π
    -0.1246337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39154860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6649169921875 × 2 - 1) × π
    -0.329833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03620402218713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39154860} λ = -0.39154860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03620402218713))-π/2
    2×atan(0.354798937857968)-π/2
    2×0.340943628914505-π/2
    0.681887257829011-1.57079632675     		φ = -0.88890907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39154860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.434082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88890907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.930738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7171 KachelY 10894 -0.39154860 -0.88890907 -22.434082 -50.930738
    Oben rechts KachelX + 1 7172 KachelY 10894 -0.39116510 -0.88890907 -22.412109 -50.930738
    Unten links KachelX 7171 KachelY + 1 10895 -0.39154860 -0.88915073 -22.434082 -50.944584
    Unten rechts KachelX + 1 7172 KachelY + 1 10895 -0.39116510 -0.88915073 -22.412109 -50.944584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88890907--0.88915073) × R
    0.000241660000000032 × 6371000     		dl = 1539.61586000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88890907--0.88915073) × R
    0.000241660000000032 × 6371000     		dr = 1539.61586000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39154860--0.39116510) × cos(-0.88890907) × R
    0.000383500000000037 × 0.630259382746591 × 6371000     		do = 1539.89919928816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39154860--0.39116510) × cos(-0.88915073) × R
    0.000383500000000037 × 0.630071743232689 × 6371000     		du = 1539.4407436981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88890907)-sin(-0.88915073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630259382746591-0.630071743232689)×R²
    abs(-0.39116510--0.39154860)×0.000187639513901883×R²
    0.000383500000000037×0.000187639513901883×6371000²
    0.000383500000000037×0.000187639513901883×40589641000000     		ar = 2370500.31881227m²