Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71709 / 63396
↖ ↑ ↗
← N  5.867404°
E 16.954651°		 ← 303.83 m → N  5.867404°
E 16.957398°		 →
↑
303.83 m
↓
↑
303.83 m
↓
N  5.864671°
E 16.954651°		 ← 303.83 m →
92 312 m²		 N  5.864671°
E 16.957398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547100067138672 y=0.483676910400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547100067138672 × 217)
    floor (0.547100067138672 × 131072)
    floor (71709.5)     		tx = 71709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.483676910400391 × 217)
    floor (0.483676910400391 × 131072)
    floor (63396.5)     		ty = 63396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71709 / 63396 ti = "17/71709/63396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71709/63396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71709 ÷ 217
    71709 ÷ 131072     		x = 0.547096252441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63396 ÷ 217
    63396 ÷ 131072     		y = 0.483673095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547096252441406 × 2 - 1) × π
    0.0941925048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29591448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.483673095703125 × 2 - 1) × π
    0.03265380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.10258496518692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29591448} λ = 0.29591448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.10258496518692))-π/2
    2×atan(1.10803144200902)-π/2
    2×0.836600917721542-π/2
    1.67320183544308-1.57079632675     		φ = 0.10240551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29591448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.954651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.10240551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.867404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71709 KachelY 63396 0.29591448 0.10240551 16.954651 5.867404
    Oben rechts KachelX + 1 71710 KachelY 63396 0.29596242 0.10240551 16.957398 5.867404
    Unten links KachelX 71709 KachelY + 1 63397 0.29591448 0.10235782 16.954651 5.864671
    Unten rechts KachelX + 1 71710 KachelY + 1 63397 0.29596242 0.10235782 16.957398 5.864671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.10240551-0.10235782) × R
    4.7690000000003e-05 × 6371000     		dl = 303.832990000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.10240551-0.10235782) × R
    4.7690000000003e-05 × 6371000     		dr = 303.832990000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29591448-0.29596242) × cos(0.10240551) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.994761136443905 × 6371000     		do = 303.825656221773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29591448-0.29596242) × cos(0.10235782) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.994766010500103 × 6371000     		du = 303.827144883994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.10240551)-sin(0.10235782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994761136443905-0.994766010500103)×R²
    abs(0.29596242-0.29591448)×4.87405619842285e-06×R²
    4.79400000000241e-05×4.87405619842285e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×4.87405619842285e-06×40589641000000     		ar = 92312.4837384034m²