Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71709 / 63395
↖ ↑ ↗
← N  5.870135°
E 16.954651°		 ← 303.82 m → N  5.870135°
E 16.957398°		 →
↑
303.77 m
↓
↑
303.77 m
↓
N  5.867404°
E 16.954651°		 ← 303.83 m →
92 293 m²		 N  5.867404°
E 16.957398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547100067138672 y=0.483669281005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547100067138672 × 217)
    floor (0.547100067138672 × 131072)
    floor (71709.5)     		tx = 71709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.483669281005859 × 217)
    floor (0.483669281005859 × 131072)
    floor (63395.5)     		ty = 63395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71709 / 63395 ti = "17/71709/63395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71709/63395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71709 ÷ 217
    71709 ÷ 131072     		x = 0.547096252441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63395 ÷ 217
    63395 ÷ 131072     		y = 0.483665466308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547096252441406 × 2 - 1) × π
    0.0941925048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29591448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.483665466308594 × 2 - 1) × π
    0.0326690673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.10263290208654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29591448} λ = 0.29591448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.10263290208654))-π/2
    2×atan(1.10808455887415)-π/2
    2×0.836624760545488-π/2
    1.67324952109098-1.57079632675     		φ = 0.10245319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29591448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.954651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.10245319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.870135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71709 KachelY 63395 0.29591448 0.10245319 16.954651 5.870135
    Oben rechts KachelX + 1 71710 KachelY 63395 0.29596242 0.10245319 16.957398 5.870135
    Unten links KachelX 71709 KachelY + 1 63396 0.29591448 0.10240551 16.954651 5.867404
    Unten rechts KachelX + 1 71710 KachelY + 1 63396 0.29596242 0.10240551 16.957398 5.867404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.10245319-0.10240551) × R
    4.76799999999944e-05 × 6371000     		dl = 303.769279999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.10245319-0.10240551) × R
    4.76799999999944e-05 × 6371000     		dr = 303.769279999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29591448-0.29596242) × cos(0.10245319) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.994756261148026 × 6371000     		do = 303.824167180922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29591448-0.29596242) × cos(0.10240551) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.994761136443905 × 6371000     		du = 303.825656221773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.10245319)-sin(0.10240551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994756261148026-0.994761136443905)×R²
    abs(0.29596242-0.29591448)×4.87529587900326e-06×R²
    4.79400000000241e-05×4.87529587900326e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×4.87529587900326e-06×40589641000000     		ar = 92292.6746910524m²