Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71704 / 95479
↖ ↑ ↗
← S 63.222493°
E 16.940918°		 ← 137.57 m → S 63.222493°
E 16.943664°		 →
↑
137.61 m
↓
↑
137.61 m
↓
S 63.223730°
E 16.940918°		 ← 137.57 m →
18 932 m²		 S 63.223730°
E 16.943664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547061920166016 y=0.728450775146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547061920166016 × 217)
    floor (0.547061920166016 × 131072)
    floor (71704.5)     		tx = 71704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728450775146484 × 217)
    floor (0.728450775146484 × 131072)
    floor (95479.5)     		ty = 95479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71704 / 95479 ti = "17/71704/95479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71704/95479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71704 ÷ 217
    71704 ÷ 131072     		x = 0.54705810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95479 ÷ 217
    95479 ÷ 131072     		y = 0.728446960449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54705810546875 × 2 - 1) × π
    0.0941162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29567480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728446960449219 × 2 - 1) × π
    -0.456893920898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.43537458532334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29567480} λ = 0.29567480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43537458532334))-π/2
    2×atan(0.238026186197458)-π/2
    2×0.233677832455419-π/2
    0.467355664910838-1.57079632675     		φ = -1.10344066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29567480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.940918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10344066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.222493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71704 KachelY 95479 0.29567480 -1.10344066 16.940918 -63.222493
    Oben rechts KachelX + 1 71705 KachelY 95479 0.29572273 -1.10344066 16.943664 -63.222493
    Unten links KachelX 71704 KachelY + 1 95480 0.29567480 -1.10346226 16.940918 -63.223730
    Unten rechts KachelX + 1 71705 KachelY + 1 95480 0.29572273 -1.10346226 16.943664 -63.223730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10344066--1.10346226) × R
    2.1599999999955e-05 × 6371000     		dl = 137.613599999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10344066--1.10346226) × R
    2.1599999999955e-05 × 6371000     		dr = 137.613599999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29567480-0.29572273) × cos(-1.10344066) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.450527101095243 × 6371000     		do = 137.573870160383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29567480-0.29572273) × cos(-1.10346226) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.450507817314704 × 6371000     		du = 137.567981626012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10344066)-sin(-1.10346226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450527101095243-0.450507817314704)×R²
    abs(0.29572273-0.29567480)×1.92837805383927e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.92837805383927e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.92837805383927e-05×40589641000000     		ar = 18931.6303680459m²