Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71704 / 63077
↖ ↑ ↗
← N  6.738259°
E 16.940918°		 ← 303.25 m → N  6.738259°
E 16.943664°		 →
↑
303.32 m
↓
↑
303.32 m
↓
N  6.735531°
E 16.940918°		 ← 303.25 m →
91 984 m²		 N  6.735531°
E 16.943664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547061920166016 y=0.481243133544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547061920166016 × 217)
    floor (0.547061920166016 × 131072)
    floor (71704.5)     		tx = 71704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481243133544922 × 217)
    floor (0.481243133544922 × 131072)
    floor (63077.5)     		ty = 63077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71704 / 63077 ti = "17/71704/63077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71704/63077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71704 ÷ 217
    71704 ÷ 131072     		x = 0.54705810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63077 ÷ 217
    63077 ÷ 131072     		y = 0.481239318847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54705810546875 × 2 - 1) × π
    0.0941162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29567480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481239318847656 × 2 - 1) × π
    0.0375213623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.117876836165718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29567480} λ = 0.29567480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.117876836165718))-π/2
    2×atan(1.12510553052233)-π/2
    2×0.84420056266163-π/2
    1.68840112532326-1.57079632675     		φ = 0.11760480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29567480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.940918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11760480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.738259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71704 KachelY 63077 0.29567480 0.11760480 16.940918 6.738259
    Oben rechts KachelX + 1 71705 KachelY 63077 0.29572273 0.11760480 16.943664 6.738259
    Unten links KachelX 71704 KachelY + 1 63078 0.29567480 0.11755719 16.940918 6.735531
    Unten rechts KachelX + 1 71705 KachelY + 1 63078 0.29572273 0.11755719 16.943664 6.735531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11760480-0.11755719) × R
    4.76099999999896e-05 × 6371000     		dl = 303.323309999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11760480-0.11755719) × R
    4.76099999999896e-05 × 6371000     		dr = 303.323309999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29567480-0.29572273) × cos(0.11760480) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.993092522396808 × 6371000     		do = 303.252748616744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29567480-0.29572273) × cos(0.11755719) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.993098107537825 × 6371000     		du = 303.254454106743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11760480)-sin(0.11755719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993092522396808-0.993098107537825)×R²
    abs(0.29572273-0.29567480)×5.58514101733909e-06×R²
    4.79299999999738e-05×5.58514101733909e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×5.58514101733909e-06×40589641000000     		ar = 91983.8861518219m²