Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71703 / 95481
↖ ↑ ↗
← S 63.224967°
E 16.938171°		 ← 137.59 m → S 63.224967°
E 16.940918°		 →
↑
137.61 m
↓
↑
137.61 m
↓
S 63.226205°
E 16.938171°		 ← 137.58 m →
18 934 m²		 S 63.226205°
E 16.940918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547054290771484 y=0.728466033935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547054290771484 × 217)
    floor (0.547054290771484 × 131072)
    floor (71703.5)     		tx = 71703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728466033935547 × 217)
    floor (0.728466033935547 × 131072)
    floor (95481.5)     		ty = 95481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71703 / 95481 ti = "17/71703/95481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71703/95481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71703 ÷ 217
    71703 ÷ 131072     		x = 0.547050476074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95481 ÷ 217
    95481 ÷ 131072     		y = 0.728462219238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547050476074219 × 2 - 1) × π
    0.0941009521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29562686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728462219238281 × 2 - 1) × π
    -0.456924438476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.43547045912258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29562686} λ = 0.29562686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43547045912258))-π/2
    2×atan(0.238003366816577)-π/2
    2×0.233656236507324-π/2
    0.467312473014649-1.57079632675     		φ = -1.10348385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29562686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.938171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10348385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.224967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71703 KachelY 95481 0.29562686 -1.10348385 16.938171 -63.224967
    Oben rechts KachelX + 1 71704 KachelY 95481 0.29567480 -1.10348385 16.940918 -63.224967
    Unten links KachelX 71703 KachelY + 1 95482 0.29562686 -1.10350545 16.938171 -63.226205
    Unten rechts KachelX + 1 71704 KachelY + 1 95482 0.29567480 -1.10350545 16.940918 -63.226205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10348385--1.10350545) × R
    2.1600000000177e-05 × 6371000     		dl = 137.613600001128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10348385--1.10350545) × R
    2.1600000000177e-05 × 6371000     		dr = 137.613600001128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29562686-0.29567480) × cos(-1.10348385) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450488542251799 × 6371000     		do = 137.590796378846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29562686-0.29567480) × cos(-1.10350545) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450469258050989 × 6371000     		du = 137.584906487543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10348385)-sin(-1.10350545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450488542251799-0.450469258050989)×R²
    abs(0.29567480-0.29562686)×1.92842008102101e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92842008102101e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92842008102101e-05×40589641000000     		ar = 18933.9595529904m²