Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71693 / 95483
↖ ↑ ↗
← S 63.227442°
E 16.910706°		 ← 137.58 m → S 63.227442°
E 16.913452°		 →
↑
137.55 m
↓
↑
137.55 m
↓
S 63.228679°
E 16.910706°		 ← 137.57 m →
18 924 m²		 S 63.228679°
E 16.913452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546977996826172 y=0.728481292724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546977996826172 × 217)
    floor (0.546977996826172 × 131072)
    floor (71693.5)     		tx = 71693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728481292724609 × 217)
    floor (0.728481292724609 × 131072)
    floor (95483.5)     		ty = 95483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71693 / 95483 ti = "17/71693/95483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71693/95483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71693 ÷ 217
    71693 ÷ 131072     		x = 0.546974182128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95483 ÷ 217
    95483 ÷ 131072     		y = 0.728477478027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546974182128906 × 2 - 1) × π
    0.0939483642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29514749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728477478027344 × 2 - 1) × π
    -0.456954956054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.43556633292182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29514749} λ = 0.29514749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43556633292182))-π/2
    2×atan(0.237980549623371)-π/2
    2×0.233634642407643-π/2
    0.467269284815287-1.57079632675     		φ = -1.10352704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29514749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.910706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10352704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.227442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71693 KachelY 95483 0.29514749 -1.10352704 16.910706 -63.227442
    Oben rechts KachelX + 1 71694 KachelY 95483 0.29519543 -1.10352704 16.913452 -63.227442
    Unten links KachelX 71693 KachelY + 1 95484 0.29514749 -1.10354863 16.910706 -63.228679
    Unten rechts KachelX + 1 71694 KachelY + 1 95484 0.29519543 -1.10354863 16.913452 -63.228679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10352704--1.10354863) × R
    2.15900000000158e-05 × 6371000     		dl = 137.5498900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10352704--1.10354863) × R
    2.15900000000158e-05 × 6371000     		dr = 137.5498900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29514749-0.29519543) × cos(-1.10352704) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.450449982568025 × 6371000     		do = 137.579019258736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29514749-0.29519543) × cos(-1.10354863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.450430706875093 × 6371000     		du = 137.573131965958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10352704)-sin(-1.10354863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450449982568025-0.450430706875093)×R²
    abs(0.29519543-0.29514749)×1.92756929317528e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92756929317528e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92756929317528e-05×40589641000000     		ar = 18923.574067779m²