Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71690 / 95487
↖ ↑ ↗
← S 63.232391°
E 16.902466°		 ← 137.56 m → S 63.232391°
E 16.905213°		 →
↑
137.55 m
↓
↑
137.55 m
↓
S 63.233628°
E 16.902466°		 ← 137.55 m →
18 920 m²		 S 63.233628°
E 16.905213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546955108642578 y=0.728511810302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546955108642578 × 217)
    floor (0.546955108642578 × 131072)
    floor (71690.5)     		tx = 71690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728511810302734 × 217)
    floor (0.728511810302734 × 131072)
    floor (95487.5)     		ty = 95487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71690 / 95487 ti = "17/71690/95487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71690/95487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71690 ÷ 217
    71690 ÷ 131072     		x = 0.546951293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95487 ÷ 217
    95487 ÷ 131072     		y = 0.728507995605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546951293945312 × 2 - 1) × π
    0.093902587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29500368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728507995605469 × 2 - 1) × π
    -0.457015991210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.4357580805203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29500368} λ = 0.29500368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4357580805203))-π/2
    2×atan(0.237934921799149)-π/2
    2×0.233591459753051-π/2
    0.467182919506101-1.57079632675     		φ = -1.10361341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29500368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.902466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10361341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.232391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71690 KachelY 95487 0.29500368 -1.10361341 16.902466 -63.232391
    Oben rechts KachelX + 1 71691 KachelY 95487 0.29505162 -1.10361341 16.905213 -63.232391
    Unten links KachelX 71690 KachelY + 1 95488 0.29500368 -1.10363500 16.902466 -63.233628
    Unten rechts KachelX + 1 71691 KachelY + 1 95488 0.29505162 -1.10363500 16.905213 -63.233628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10361341--1.10363500) × R
    2.15900000000158e-05 × 6371000     		dl = 137.5498900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10361341--1.10363500) × R
    2.15900000000158e-05 × 6371000     		dr = 137.5498900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29500368-0.29505162) × cos(-1.10361341) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450372869608178 × 6371000     		do = 137.55546697607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29500368-0.29505162) × cos(-1.10363500) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450353593075369 × 6371000     		du = 137.549579426773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10361341)-sin(-1.10363500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450372869608178-0.450353593075369)×R²
    abs(0.29505162-0.29500368)×1.92765328086986e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92765328086986e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92765328086986e-05×40589641000000     		ar = 18920.3344363995m²