Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71685 / 63093
↖ ↑ ↗
← N  6.694615°
E 16.888733°		 ← 303.28 m → N  6.694615°
E 16.891479°		 →
↑
303.32 m
↓
↑
303.32 m
↓
N  6.691887°
E 16.888733°		 ← 303.28 m →
91 992 m²		 N  6.691887°
E 16.891479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546916961669922 y=0.481365203857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546916961669922 × 217)
    floor (0.546916961669922 × 131072)
    floor (71685.5)     		tx = 71685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481365203857422 × 217)
    floor (0.481365203857422 × 131072)
    floor (63093.5)     		ty = 63093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71685 / 63093 ti = "17/71685/63093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71685/63093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71685 ÷ 217
    71685 ÷ 131072     		x = 0.546913146972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63093 ÷ 217
    63093 ÷ 131072     		y = 0.481361389160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546913146972656 × 2 - 1) × π
    0.0938262939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29476400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481361389160156 × 2 - 1) × π
    0.0372772216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.117109845771797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29476400} λ = 0.29476400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.117109845771797))-π/2
    2×atan(1.124242916239)-π/2
    2×0.843819699348473-π/2
    1.68763939869695-1.57079632675     		φ = 0.11684307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29476400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.888733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11684307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.694615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71685 KachelY 63093 0.29476400 0.11684307 16.888733 6.694615
    Oben rechts KachelX + 1 71686 KachelY 63093 0.29481193 0.11684307 16.891479 6.694615
    Unten links KachelX 71685 KachelY + 1 63094 0.29476400 0.11679546 16.888733 6.691887
    Unten rechts KachelX + 1 71686 KachelY + 1 63094 0.29481193 0.11679546 16.891479 6.691887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11684307-0.11679546) × R
    4.76099999999896e-05 × 6371000     		dl = 303.323309999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11684307-0.11679546) × R
    4.76099999999896e-05 × 6371000     		dr = 303.323309999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29476400-0.29481193) × cos(0.11684307) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.993181611020588 × 6371000     		do = 303.279952899752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29476400-0.29481193) × cos(0.11679546) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.993187160144429 × 6371000     		du = 303.281647391472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11684307)-sin(0.11679546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993181611020588-0.993187160144429)×R²
    abs(0.29481193-0.29476400)×5.54912384032047e-06×R²
    4.79299999999738e-05×5.54912384032047e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×5.54912384032047e-06×40589641000000     		ar = 91992.1361769594m²