Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7166 / 5306
↖ ↑ ↗
← N 53.409532°
W 22.543945°		 ← 1 456.38 m → N 53.409532°
W 22.521973°		 →
↑
1 456.60 m
↓
↑
1 456.60 m
↓
N 53.396432°
W 22.543945°		 ← 1 456.83 m →
2 121 691 m²		 N 53.396432°
W 22.521973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437408447265625 y=0.323883056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437408447265625 × 214)
    floor (0.437408447265625 × 16384)
    floor (7166.5)     		tx = 7166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323883056640625 × 214)
    floor (0.323883056640625 × 16384)
    floor (5306.5)     		ty = 5306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7166 / 5306 ti = "14/7166/5306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7166/5306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7166 ÷ 214
    7166 ÷ 16384     		x = 0.4373779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5306 ÷ 214
    5306 ÷ 16384     		y = 0.3238525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4373779296875 × 2 - 1) × π
    -0.125244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39346607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3238525390625 × 2 - 1) × π
    0.352294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10676713842786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39346607} λ = -0.39346607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10676713842786))-π/2
    2×atan(3.02456457335003)-π/2
    2×1.25148425478059-π/2
    2.50296850956119-1.57079632675     		φ = 0.93217218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39346607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.543945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93217218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.409532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7166 KachelY 5306 -0.39346607 0.93217218 -22.543945 53.409532
    Oben rechts KachelX + 1 7167 KachelY 5306 -0.39308258 0.93217218 -22.521973 53.409532
    Unten links KachelX 7166 KachelY + 1 5307 -0.39346607 0.93194355 -22.543945 53.396432
    Unten rechts KachelX + 1 7167 KachelY + 1 5307 -0.39308258 0.93194355 -22.521973 53.396432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93217218-0.93194355) × R
    0.000228630000000063 × 6371000     		dl = 1456.6017300004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93217218-0.93194355) × R
    0.000228630000000063 × 6371000     		dr = 1456.6017300004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39346607--0.39308258) × cos(0.93217218) × R
    0.000383489999999986 × 0.596091310454229 × 6371000     		do = 1456.3791058922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39346607--0.39308258) × cos(0.93194355) × R
    0.000383489999999986 × 0.596274865707365 × 6371000     		du = 1456.82757080145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93217218)-sin(0.93194355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596091310454229-0.596274865707365)×R²
    abs(-0.39308258--0.39346607)×0.000183555253136181×R²
    0.000383489999999986×0.000183555253136181×6371000²
    0.000383489999999986×0.000183555253136181×40589641000000     		ar = 2121690.95180132m²