Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71654 / 63085
↖ ↑ ↗
← N  6.716437°
E 16.803589°		 ← 303.33 m → N  6.716437°
E 16.806336°		 →
↑
303.26 m
↓
↑
303.26 m
↓
N  6.713710°
E 16.803589°		 ← 303.33 m →
91 988 m²		 N  6.713710°
E 16.806336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546680450439453 y=0.481304168701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546680450439453 × 217)
    floor (0.546680450439453 × 131072)
    floor (71654.5)     		tx = 71654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481304168701172 × 217)
    floor (0.481304168701172 × 131072)
    floor (63085.5)     		ty = 63085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71654 / 63085 ti = "17/71654/63085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71654/63085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71654 ÷ 217
    71654 ÷ 131072     		x = 0.546676635742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63085 ÷ 217
    63085 ÷ 131072     		y = 0.481300354003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546676635742188 × 2 - 1) × π
    0.093353271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29327795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481300354003906 × 2 - 1) × π
    0.0373992919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.117493340968758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29327795} λ = 0.29327795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.117493340968758))-π/2
    2×atan(1.12467414067856)-π/2
    2×0.844010135275665-π/2
    1.68802027055133-1.57079632675     		φ = 0.11722394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29327795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.803589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11722394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.716437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71654 KachelY 63085 0.29327795 0.11722394 16.803589 6.716437
    Oben rechts KachelX + 1 71655 KachelY 63085 0.29332589 0.11722394 16.806336 6.716437
    Unten links KachelX 71654 KachelY + 1 63086 0.29327795 0.11717634 16.803589 6.713710
    Unten rechts KachelX + 1 71655 KachelY + 1 63086 0.29332589 0.11717634 16.806336 6.713710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11722394-0.11717634) × R
    4.75999999999949e-05 × 6371000     		dl = 303.259599999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11722394-0.11717634) × R
    4.75999999999949e-05 × 6371000     		dr = 303.259599999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29327795-0.29332589) × cos(0.11722394) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.993137138155236 × 6371000     		do = 303.329645342346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29327795-0.29332589) × cos(0.11717634) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.993142704119221 × 6371000     		du = 303.331345331015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11722394)-sin(0.11717634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993137138155236-0.993142704119221)×R²
    abs(0.29332589-0.29327795)×5.56596398537668e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.56596398537668e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.56596398537668e-06×40589641000000     		ar = 91987.8847009699m²