Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71652 / 63082
↖ ↑ ↗
← N  6.724621°
E 16.798096°		 ← 303.26 m → N  6.724621°
E 16.800842°		 →
↑
303.32 m
↓
↑
303.32 m
↓
N  6.721893°
E 16.798096°		 ← 303.26 m →
91 986 m²		 N  6.721893°
E 16.800842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546665191650391 y=0.481281280517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546665191650391 × 217)
    floor (0.546665191650391 × 131072)
    floor (71652.5)     		tx = 71652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481281280517578 × 217)
    floor (0.481281280517578 × 131072)
    floor (63082.5)     		ty = 63082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71652 / 63082 ti = "17/71652/63082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71652/63082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71652 ÷ 217
    71652 ÷ 131072     		x = 0.546661376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63082 ÷ 217
    63082 ÷ 131072     		y = 0.481277465820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546661376953125 × 2 - 1) × π
    0.09332275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29318208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481277465820312 × 2 - 1) × π
    0.037445068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.117637151667618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29318208} λ = 0.29318208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.117637151667618))-π/2
    2×atan(1.12483589248326)-π/2
    2×0.84408154654779-π/2
    1.68816309309558-1.57079632675     		φ = 0.11736677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29318208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.798096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11736677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.724621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71652 KachelY 63082 0.29318208 0.11736677 16.798096 6.724621
    Oben rechts KachelX + 1 71653 KachelY 63082 0.29323001 0.11736677 16.800842 6.724621
    Unten links KachelX 71652 KachelY + 1 63083 0.29318208 0.11731916 16.798096 6.721893
    Unten rechts KachelX + 1 71653 KachelY + 1 63083 0.29323001 0.11731916 16.800842 6.721893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11736677-0.11731916) × R
    4.76099999999896e-05 × 6371000     		dl = 303.323309999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11736677-0.11731916) × R
    4.76099999999896e-05 × 6371000     		dr = 303.323309999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29318208-0.29323001) × cos(0.11736677) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.993120423249144 × 6371000     		do = 303.261268477652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29318208-0.29323001) × cos(0.11731916) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.993125997135643 × 6371000     		du = 303.262970530948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11736677)-sin(0.11731916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993120423249144-0.993125997135643)×R²
    abs(0.29323001-0.29318208)×5.57388649913282e-06×R²
    4.79299999999738e-05×5.57388649913282e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×5.57388649913282e-06×40589641000000     		ar = 91986.4699030144m²