Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 7165 / 9197
↖ ↑ ↗
← N 78.083559°
W140.641479°		 ← 126.12 m → N 78.083559°
W140.635986°		 →
↑
126.15 m
↓
↑
126.15 m
↓
N 78.082425°
W140.641479°		 ← 126.13 m →
15 910 m²		 N 78.082425°
W140.635986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109336853027344 y=0.140342712402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109336853027344 × 216)
    floor (0.109336853027344 × 65536)
    floor (7165.5)     		tx = 7165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140342712402344 × 216)
    floor (0.140342712402344 × 65536)
    floor (9197.5)     		ty = 9197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7165 / 9197 ti = "16/7165/9197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7165/9197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7165 ÷ 216
    7165 ÷ 65536     		x = 0.109329223632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9197 ÷ 216
    9197 ÷ 65536     		y = 0.140335083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109329223632812 × 2 - 1) × π
    -0.781341552734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45465688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140335083007812 × 2 - 1) × π
    0.719329833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25984132188869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45465688} λ = -2.45465688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25984132188869))-π/2
    2×atan(9.58156866091354)-π/2
    2×1.46680576379049-π/2
    2.93361152758099-1.57079632675     		φ = 1.36281520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45465688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.641479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36281520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.083559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7165 KachelY 9197 -2.45465688 1.36281520 -140.641479 78.083559
    Oben rechts KachelX + 1 7166 KachelY 9197 -2.45456101 1.36281520 -140.635986 78.083559
    Unten links KachelX 7165 KachelY + 1 9198 -2.45465688 1.36279540 -140.641479 78.082425
    Unten rechts KachelX + 1 7166 KachelY + 1 9198 -2.45456101 1.36279540 -140.635986 78.082425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36281520-1.36279540) × R
    1.98000000000143e-05 × 6371000     		dl = 126.145800000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36281520-1.36279540) × R
    1.98000000000143e-05 × 6371000     		dr = 126.145800000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45465688--2.45456101) × cos(1.36281520) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206484955954513 × 6371000     		do = 126.118485786002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45465688--2.45456101) × cos(1.36279540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206504329219589 × 6371000     		du = 126.130318739376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36281520)-sin(1.36279540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206484955954513-0.206504329219589)×R²
    abs(-2.45456101--2.45465688)×1.9373265076339e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9373265076339e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9373265076339e-05×40589641000000     		ar = 15910.0636237271m²