Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7165 / 10147
↖ ↑ ↗
← S 39.419221°
W 22.565918°		 ← 1 887.48 m → S 39.419221°
W 22.543945°		 →
↑
1 887.22 m
↓
↑
1 887.22 m
↓
S 39.436193°
W 22.565918°		 ← 1 887.02 m →
3 561 657 m²		 S 39.436193°
W 22.543945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437347412109375 y=0.619354248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437347412109375 × 214)
    floor (0.437347412109375 × 16384)
    floor (7165.5)     		tx = 7165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619354248046875 × 214)
    floor (0.619354248046875 × 16384)
    floor (10147.5)     		ty = 10147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7165 / 10147 ti = "14/7165/10147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7165/10147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7165 ÷ 214
    7165 ÷ 16384     		x = 0.43731689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10147 ÷ 214
    10147 ÷ 16384     		y = 0.61932373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43731689453125 × 2 - 1) × π
    -0.1253662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39384957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61932373046875 × 2 - 1) × π
    -0.2386474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.749733110057678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39384957} λ = -0.39384957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.749733110057678))-π/2
    2×atan(0.472492639447919)-π/2
    2×0.441400568194031-π/2
    0.882801136388062-1.57079632675     		φ = -0.68799519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39384957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.565918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68799519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.419221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7165 KachelY 10147 -0.39384957 -0.68799519 -22.565918 -39.419221
    Oben rechts KachelX + 1 7166 KachelY 10147 -0.39346607 -0.68799519 -22.543945 -39.419221
    Unten links KachelX 7165 KachelY + 1 10148 -0.39384957 -0.68829141 -22.565918 -39.436193
    Unten rechts KachelX + 1 7166 KachelY + 1 10148 -0.39346607 -0.68829141 -22.543945 -39.436193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68799519--0.68829141) × R
    0.000296220000000069 × 6371000     		dl = 1887.21762000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68799519--0.68829141) × R
    0.000296220000000069 × 6371000     		dr = 1887.21762000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39384957--0.39346607) × cos(-0.68799519) × R
    0.000383499999999981 × 0.772520600330723 × 6371000     		do = 1887.48297359506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39384957--0.39346607) × cos(-0.68829141) × R
    0.000383499999999981 × 0.772332469790943 × 6371000     		du = 1887.02331829202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68799519)-sin(-0.68829141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772520600330723-0.772332469790943)×R²
    abs(-0.39346607--0.39384957)×0.00018813053978084×R²
    0.000383499999999981×0.00018813053978084×6371000²
    0.000383499999999981×0.00018813053978084×40589641000000     		ar = 3561657.41646839m²