Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71649 / 63105
↖ ↑ ↗
← N  6.661879°
E 16.789856°		 ← 303.30 m → N  6.661879°
E 16.792602°		 →
↑
303.32 m
↓
↑
303.32 m
↓
N  6.659152°
E 16.789856°		 ← 303.30 m →
91 998 m²		 N  6.659152°
E 16.792602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546642303466797 y=0.481456756591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546642303466797 × 217)
    floor (0.546642303466797 × 131072)
    floor (71649.5)     		tx = 71649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481456756591797 × 217)
    floor (0.481456756591797 × 131072)
    floor (63105.5)     		ty = 63105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71649 / 63105 ti = "17/71649/63105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71649/63105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71649 ÷ 217
    71649 ÷ 131072     		x = 0.546638488769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63105 ÷ 217
    63105 ÷ 131072     		y = 0.481452941894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546638488769531 × 2 - 1) × π
    0.0932769775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29303827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481452941894531 × 2 - 1) × π
    0.0370941162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.116534602976357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29303827} λ = 0.29303827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.116534602976357))-π/2
    2×atan(1.12359638957384)-π/2
    2×0.84353402950248-π/2
    1.68706805900496-1.57079632675     		φ = 0.11627173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29303827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.789856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11627173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.661879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71649 KachelY 63105 0.29303827 0.11627173 16.789856 6.661879
    Oben rechts KachelX + 1 71650 KachelY 63105 0.29308620 0.11627173 16.792602 6.661879
    Unten links KachelX 71649 KachelY + 1 63106 0.29303827 0.11622412 16.789856 6.659152
    Unten rechts KachelX + 1 71650 KachelY + 1 63106 0.29308620 0.11622412 16.792602 6.659152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11627173-0.11622412) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dl = 303.323310000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11627173-0.11622412) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dr = 303.323310000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29303827-0.29308620) × cos(0.11627173) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.99324805424033 × 6371000     		do = 303.300242136563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29303827-0.29308620) × cos(0.11622412) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.993253576347163 × 6371000     		du = 303.301928378315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11627173)-sin(0.11622412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99324805424033-0.993253576347163)×R²
    abs(0.29308620-0.29303827)×5.52210683357757e-06×R²
    4.79300000000293e-05×5.52210683357757e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×5.52210683357757e-06×40589641000000     		ar = 91998.2891242636m²