Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71647 / 63104
↖ ↑ ↗
← N  6.664608°
E 16.784363°		 ← 303.36 m → N  6.664608°
E 16.787109°		 →
↑
303.39 m
↓
↑
303.39 m
↓
N  6.661879°
E 16.784363°		 ← 303.36 m →
92 036 m²		 N  6.661879°
E 16.787109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546627044677734 y=0.481449127197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546627044677734 × 217)
    floor (0.546627044677734 × 131072)
    floor (71647.5)     		tx = 71647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481449127197266 × 217)
    floor (0.481449127197266 × 131072)
    floor (63104.5)     		ty = 63104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71647 / 63104 ti = "17/71647/63104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71647/63104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71647 ÷ 217
    71647 ÷ 131072     		x = 0.546623229980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63104 ÷ 217
    63104 ÷ 131072     		y = 0.4814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546623229980469 × 2 - 1) × π
    0.0932464599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29294239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4814453125 × 2 - 1) × π
    0.037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.116582539875977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29294239} λ = 0.29294239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.116582539875977))-π/2
    2×atan(1.12365025259218)-π/2
    2×0.843557836052406-π/2
    1.68711567210481-1.57079632675     		φ = 0.11631935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29294239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.784363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11631935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.664608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71647 KachelY 63104 0.29294239 0.11631935 16.784363 6.664608
    Oben rechts KachelX + 1 71648 KachelY 63104 0.29299033 0.11631935 16.787109 6.664608
    Unten links KachelX 71647 KachelY + 1 63105 0.29294239 0.11627173 16.784363 6.661879
    Unten rechts KachelX + 1 71648 KachelY + 1 63105 0.29299033 0.11627173 16.787109 6.661879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11631935-0.11627173) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dl = 303.387019999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11631935-0.11627173) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dr = 303.387019999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29294239-0.29299033) × cos(0.11631935) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.993242528721517 × 6371000     		do = 303.361834334393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29294239-0.29299033) × cos(0.11627173) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.99324805424033 × 6371000     		du = 303.363521970065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11631935)-sin(0.11627173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993242528721517-0.99324805424033)×R²
    abs(0.29299033-0.29294239)×5.52551881316532e-06×R²
    4.79400000000241e-05×5.52551881316532e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×5.52551881316532e-06×40589641000000     		ar = 92036.2989212151m²