Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71640 / 63128
↖ ↑ ↗
← N  6.599131°
E 16.765137°		 ← 303.34 m → N  6.599131°
E 16.767883°		 →
↑
303.39 m
↓
↑
303.39 m
↓
N  6.596402°
E 16.765137°		 ← 303.34 m →
92 029 m²		 N  6.596402°
E 16.767883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546573638916016 y=0.481632232666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546573638916016 × 217)
    floor (0.546573638916016 × 131072)
    floor (71640.5)     		tx = 71640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481632232666016 × 217)
    floor (0.481632232666016 × 131072)
    floor (63128.5)     		ty = 63128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71640 / 63128 ti = "17/71640/63128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71640/63128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71640 ÷ 217
    71640 ÷ 131072     		x = 0.54656982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63128 ÷ 217
    63128 ÷ 131072     		y = 0.48162841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54656982421875 × 2 - 1) × π
    0.0931396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29260684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48162841796875 × 2 - 1) × π
    0.0367431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.115432054285095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29260684} λ = 0.29260684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.115432054285095))-π/2
    2×atan(1.12235825252362)-π/2
    2×0.842986442421671-π/2
    1.68597288484334-1.57079632675     		φ = 0.11517656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29260684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.765137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11517656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.599131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71640 KachelY 63128 0.29260684 0.11517656 16.765137 6.599131
    Oben rechts KachelX + 1 71641 KachelY 63128 0.29265477 0.11517656 16.767883 6.599131
    Unten links KachelX 71640 KachelY + 1 63129 0.29260684 0.11512894 16.765137 6.596402
    Unten rechts KachelX + 1 71641 KachelY + 1 63129 0.29265477 0.11512894 16.767883 6.596402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11517656-0.11512894) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dl = 303.387019999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11517656-0.11512894) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dr = 303.387019999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29260684-0.29265477) × cos(0.11517656) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.993374509155255 × 6371000     		do = 303.338856666088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29260684-0.29265477) × cos(0.11512894) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.993379980618401 × 6371000     		du = 303.340527443181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11517656)-sin(0.11512894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993374509155255-0.993379980618401)×R²
    abs(0.29265477-0.29260684)×5.47146314600067e-06×R²
    4.79300000000293e-05×5.47146314600067e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×5.47146314600067e-06×40589641000000     		ar = 92029.325237568m²