Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71637 / 63109
↖ ↑ ↗
← N  6.650967°
E 16.756897°		 ← 303.37 m → N  6.650967°
E 16.759643°		 →
↑
303.39 m
↓
↑
303.39 m
↓
N  6.648239°
E 16.756897°		 ← 303.37 m →
92 039 m²		 N  6.648239°
E 16.759643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546550750732422 y=0.481487274169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546550750732422 × 217)
    floor (0.546550750732422 × 131072)
    floor (71637.5)     		tx = 71637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481487274169922 × 217)
    floor (0.481487274169922 × 131072)
    floor (63109.5)     		ty = 63109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71637 / 63109 ti = "17/71637/63109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71637/63109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71637 ÷ 217
    71637 ÷ 131072     		x = 0.546546936035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63109 ÷ 217
    63109 ÷ 131072     		y = 0.481483459472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546546936035156 × 2 - 1) × π
    0.0930938720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29246302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481483459472656 × 2 - 1) × π
    0.0370330810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.116342855377876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29246302} λ = 0.29246302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.116342855377876))-π/2
    2×atan(1.12338096331887)-π/2
    2×0.843438801979386-π/2
    1.68687760395877-1.57079632675     		φ = 0.11608128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29246302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.756897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11608128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.650967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71637 KachelY 63109 0.29246302 0.11608128 16.756897 6.650967
    Oben rechts KachelX + 1 71638 KachelY 63109 0.29251096 0.11608128 16.759643 6.650967
    Unten links KachelX 71637 KachelY + 1 63110 0.29246302 0.11603366 16.756897 6.648239
    Unten rechts KachelX + 1 71638 KachelY + 1 63110 0.29251096 0.11603366 16.759643 6.648239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11608128-0.11603366) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dl = 303.387019999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11608128-0.11603366) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dr = 303.387019999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29246302-0.29251096) × cos(0.11608128) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.993270130317302 × 6371000     		do = 303.37026457186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29246302-0.29251096) × cos(0.11603366) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.993275644575643 × 6371000     		du = 303.371948768294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11608128)-sin(0.11603366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993270130317302-0.993275644575643)×R²
    abs(0.29251096-0.29246302)×5.51425834061092e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.51425834061092e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.51425834061092e-06×40589641000000     		ar = 92038.8560241336m²