Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71636 / 63108
↖ ↑ ↗
← N  6.653695°
E 16.754151°		 ← 303.31 m → N  6.653695°
E 16.756897°		 →
↑
303.32 m
↓
↑
303.32 m
↓
N  6.650967°
E 16.754151°		 ← 303.31 m →
92 000 m²		 N  6.650967°
E 16.756897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546543121337891 y=0.481479644775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546543121337891 × 217)
    floor (0.546543121337891 × 131072)
    floor (71636.5)     		tx = 71636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481479644775391 × 217)
    floor (0.481479644775391 × 131072)
    floor (63108.5)     		ty = 63108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71636 / 63108 ti = "17/71636/63108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71636/63108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71636 ÷ 217
    71636 ÷ 131072     		x = 0.546539306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63108 ÷ 217
    63108 ÷ 131072     		y = 0.481475830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546539306640625 × 2 - 1) × π
    0.09307861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29241509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481475830078125 × 2 - 1) × π
    0.03704833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.116390792277496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29241509} λ = 0.29241509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.116390792277496))-π/2
    2×atan(1.1234348160101)-π/2
    2×0.843462609058562-π/2
    1.68692521811712-1.57079632675     		φ = 0.11612889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29241509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.754151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11612889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.653695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71636 KachelY 63108 0.29241509 0.11612889 16.754151 6.653695
    Oben rechts KachelX + 1 71637 KachelY 63108 0.29246302 0.11612889 16.756897 6.653695
    Unten links KachelX 71636 KachelY + 1 63109 0.29241509 0.11608128 16.754151 6.650967
    Unten rechts KachelX + 1 71637 KachelY + 1 63109 0.29246302 0.11608128 16.756897 6.650967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11612889-0.11608128) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dl = 303.323310000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11612889-0.11608128) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dr = 303.323310000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29241509-0.29246302) × cos(0.11612889) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.993264614965239 × 6371000     		do = 303.305299153139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29241509-0.29246302) × cos(0.11608128) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.993270130317302 × 6371000     		du = 303.306983332242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11612889)-sin(0.11608128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993264614965239-0.993270130317302)×R²
    abs(0.29246302-0.29241509)×5.51535206350096e-06×R²
    4.79300000000293e-05×5.51535206350096e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×5.51535206350096e-06×40589641000000     		ar = 91999.8227224498m²