Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71633 / 63123
↖ ↑ ↗
← N  6.612772°
E 16.745911°		 ← 303.33 m → N  6.612772°
E 16.748657°		 →
↑
303.39 m
↓
↑
303.39 m
↓
N  6.610044°
E 16.745911°		 ← 303.33 m →
92 027 m²		 N  6.610044°
E 16.748657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546520233154297 y=0.481594085693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546520233154297 × 217)
    floor (0.546520233154297 × 131072)
    floor (71633.5)     		tx = 71633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481594085693359 × 217)
    floor (0.481594085693359 × 131072)
    floor (63123.5)     		ty = 63123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71633 / 63123 ti = "17/71633/63123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71633/63123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71633 ÷ 217
    71633 ÷ 131072     		x = 0.546516418457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63123 ÷ 217
    63123 ÷ 131072     		y = 0.481590270996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546516418457031 × 2 - 1) × π
    0.0930328369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29227128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481590270996094 × 2 - 1) × π
    0.0368194580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.115671738783195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29227128} λ = 0.29227128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.115671738783195))-π/2
    2×atan(1.12262729663963)-π/2
    2×0.84310548901632-π/2
    1.68621097803264-1.57079632675     		φ = 0.11541465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29227128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.745911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11541465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.612772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71633 KachelY 63123 0.29227128 0.11541465 16.745911 6.612772
    Oben rechts KachelX + 1 71634 KachelY 63123 0.29231921 0.11541465 16.748657 6.612772
    Unten links KachelX 71633 KachelY + 1 63124 0.29227128 0.11536703 16.745911 6.610044
    Unten rechts KachelX + 1 71634 KachelY + 1 63124 0.29231921 0.11536703 16.748657 6.610044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11541465-0.11536703) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dl = 303.387019999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11541465-0.11536703) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dr = 303.387019999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29227128-0.29231921) × cos(0.11541465) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.993347119201759 × 6371000     		do = 303.330492813936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29227128-0.29231921) × cos(0.11536703) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.993352601927508 × 6371000     		du = 303.3321670302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11541465)-sin(0.11536703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993347119201759-0.993352601927508)×R²
    abs(0.29231921-0.29227128)×5.482725748851e-06×R²
    4.79299999999738e-05×5.482725748851e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×5.482725748851e-06×40589641000000     		ar = 92026.7882750731m²