Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7163 / 3750
↖ ↑ ↗
← N 69.364831°
W 22.609863°		 ← 861.05 m → N 69.364831°
W 22.587890°		 →
↑
861.17 m
↓
↑
861.17 m
↓
N 69.357087°
W 22.609863°		 ← 861.36 m →
741 643 m²		 N 69.357087°
W 22.587890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437225341796875 y=0.228912353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437225341796875 × 214)
    floor (0.437225341796875 × 16384)
    floor (7163.5)     		tx = 7163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228912353515625 × 214)
    floor (0.228912353515625 × 16384)
    floor (3750.5)     		ty = 3750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7163 / 3750 ti = "14/7163/3750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7163/3750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7163 ÷ 214
    7163 ÷ 16384     		x = 0.43719482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3750 ÷ 214
    3750 ÷ 16384     		y = 0.2288818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43719482421875 × 2 - 1) × π
    -0.1256103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39461656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2288818359375 × 2 - 1) × π
    0.542236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70348566489832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39461656} λ = -0.39461656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70348566489832))-π/2
    2×atan(5.49306103052335)-π/2
    2×1.3907205084744-π/2
    2.78144101694881-1.57079632675     		φ = 1.21064469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39461656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.609863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21064469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.364831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7163 KachelY 3750 -0.39461656 1.21064469 -22.609863 69.364831
    Oben rechts KachelX + 1 7164 KachelY 3750 -0.39423306 1.21064469 -22.587890 69.364831
    Unten links KachelX 7163 KachelY + 1 3751 -0.39461656 1.21050952 -22.609863 69.357087
    Unten rechts KachelX + 1 7164 KachelY + 1 3751 -0.39423306 1.21050952 -22.587890 69.357087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21064469-1.21050952) × R
    0.000135170000000073 × 6371000     		dl = 861.168070000467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21064469-1.21050952) × R
    0.000135170000000073 × 6371000     		dr = 861.168070000467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39461656--0.39423306) × cos(1.21064469) × R
    0.000383499999999981 × 0.352416145619195 × 6371000     		do = 861.050791644207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39461656--0.39423306) × cos(1.21050952) × R
    0.000383499999999981 × 0.352542640351052 × 6371000     		du = 861.359853502915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21064469)-sin(1.21050952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352416145619195-0.352542640351052)×R²
    abs(-0.39423306--0.39461656)×0.000126494731856552×R²
    0.000383499999999981×0.000126494731856552×6371000²
    0.000383499999999981×0.000126494731856552×40589641000000     		ar = 741642.526644023m²