Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7163 / 1133
↖ ↑ ↗
← N 78.233478°
E134.780274°		 ← 996.47 m → N 78.233478°
E134.824219°		 →
↑
996.87 m
↓
↑
996.87 m
↓
N 78.224513°
E134.780274°		 ← 997.22 m →
993 728 m²		 N 78.224513°
E134.824219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87445068359375 y=0.13836669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87445068359375 × 213)
    floor (0.87445068359375 × 8192)
    floor (7163.5)     		tx = 7163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13836669921875 × 213)
    floor (0.13836669921875 × 8192)
    floor (1133.5)     		ty = 1133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7163 / 1133 ti = "13/7163/1133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7163/1133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7163 ÷ 213
    7163 ÷ 8192     		x = 0.8743896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1133 ÷ 213
    1133 ÷ 8192     		y = 0.1383056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8743896484375 × 2 - 1) × π
    0.748779296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35235954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1383056640625 × 2 - 1) × π
    0.723388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27259253718762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35235954} λ = 2.35235954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27259253718762))-π/2
    2×atan(9.70452757759805)-π/2
    2×1.46811405099984-π/2
    2.93622810199968-1.57079632675     		φ = 1.36543178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35235954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.780274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36543178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.233478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7163 KachelY 1133 2.35235954 1.36543178 134.780274 78.233478
    Oben rechts KachelX + 1 7164 KachelY 1133 2.35312653 1.36543178 134.824219 78.233478
    Unten links KachelX 7163 KachelY + 1 1134 2.35235954 1.36527531 134.780274 78.224513
    Unten rechts KachelX + 1 7164 KachelY + 1 1134 2.35312653 1.36527531 134.824219 78.224513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36543178-1.36527531) × R
    0.000156470000000075 × 6371000     		dl = 996.870370000479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36543178-1.36527531) × R
    0.000156470000000075 × 6371000     		dr = 996.870370000479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35235954-2.35312653) × cos(1.36543178) × R
    0.000766989999999801 × 0.203924059914323 × 6371000     		do = 996.473550440641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35235954-2.35312653) × cos(1.36527531) × R
    0.000766989999999801 × 0.204077239467845 × 6371000     		du = 997.222061301087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36543178)-sin(1.36527531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203924059914323-0.204077239467845)×R²
    abs(2.35312653-2.35235954)×0.000153179553521093×R²
    0.000766989999999801×0.000153179553521093×6371000²
    0.000766989999999801×0.000153179553521093×40589641000000     		ar = 993728.043101895m²